Вход через социальные сети

Дискретные распределения вероятностей

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Решительно пожалуйсто

В первом ведре в 4 раза больше воды чем ва втором,а в 3  ведре как во втором и первом вместе,...

11 / - chernyack.tatiana 670 08.12.2017 at 16:45 by grigoriy
Тема форума Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 854 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 1 008 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 2 414 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 1 643 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 31 926 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 4 430 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 1 029 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 1 134 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 1 173 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 886 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 7 122 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 1 396 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 414 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 8 216 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 546 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 2 393 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 2 387 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 921 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 689 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 2 050 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 665 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 2 502 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 2 550 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 2 291 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Решительно пожалуйсто

В первом ведре в 4 раза больше воды чем ва втором,а в 3  ведре как во втором и первом вместе,...

11 / - chernyack.tatiana 670 08.12.2017 at 16:45 by grigoriy
Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 854 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 1 008 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 2 414 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 1 643 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 31 926 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 4 430 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 1 029 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 1 134 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 1 173 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 886 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 7 122 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 1 396 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 414 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 8 216 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 546 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 2 393 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 2 387 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 921 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 689 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 2 050 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 665 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 2 502 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 2 550 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 2 291 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:21
adminus
0 up down

Дискретные распределения вероятностей

Дискретные распределения вероятностей

Пусть случайная величина принимает дискретные значения. К таким величинам, например, относятся количество очков при бросании кубика или количество угаданных номеров в лотерее «Спортлото». Вспомним, что закон распределения случайной величины образуют множество всевозможных её значений и вероятности, с которыми эта случайная величина принимает свои значения. Законы распределения могут быть вычислены исходя из логики процесса или измерены, если у нас есть достаточно большая статистическая выборка. Но для некоторых часто встречающихся типов процессов можно не выводить распределение, а использовать стандартное похожее. Рассмотрим наиболее известные из них.

1. Геометрическое распределение

Будем бросать кубик до тех пор, пока не выпадет 1. Посчитаем, с какой вероятностью это случится ровно за N бросков.

Для первого броска ( N = 1), очевидно, вероятность успеха p  (1) = 1/6.

Для второго ( N  = 2) это вероятность успеха во втором броске и неудачи в первом:

Аналогично, для третьего броска

Вообще, для n -го броска где p – вероятность успеха в единичном испытании.

 

Закон распределения
где p – вероятность успеха в единичном испытании, называется геометрическим.

Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения:

В нашем примере означает, что, в среднем, за шесть бросков 1 очко выпадет ровно 1 раз.

1
Рисунок 4.3.6.1.
Пример 1

Ролик кодового замка содержит N возможных цифр, из которых нужно выбрать одну. С какой вероятностью его можно открыть точно с k -го раза?

Показать решение

Вероятность правильного единичного выбора распределение, очевидно, геометрическое, поэтому

Если замок состоит из нескольких независимых роликов, то вероятность его случайного открывания подчиняется уже другому распределению – биномиальному.


2. Биномиальное распределение , часто возникающее в случайных процессах, можно получить так. Бросаем монету N раз и считаем вероятность того, что k раз из N выпала решка (будем обозначать это событие буквой P, а противоложное ему – выпадение герба – буквой О). Подумаем, какие распределения в этом случае можно считать равновероятными. Допустим, мы кинули монету три раза, при этом могли возникнуть такие комбинации:

    ООО;
    ООР; ОРО; РОО;
    ОРР; РРО; РОР;
    РРР.

Эти комбинации равновероятны.

Видно, что вероятность того, что событие «Р» наступит k раз из N , равна произведению:

  • вероятности того, что k раз случилось событие «Р» – ( p  (Р)) k . В нашем случае p  = 1/2;
  • вероятности того, что N  –  k раз случилось событие «не Р». В нашем случае это событие «О» – ( p (О)) N  –  k ;
  • числу перестановок

Таким образом,

Распределение, описываемое формулой
называется биномиальным.

 

Биномиальное распределение вероятности описывает процессы, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p . Тогда вероятность того, что событие A наступит ровно k раз, определяется формулой

Математическое ожидание такого распределения легко посчитать из простых соображений. Поскольку результаты бросков кубика независимы, мы можем представить N бросков как N повторений одного броска. Напомним, что для N бросков где – число успехов, а – вероятность того, что произойдет k успехов. Тогда математическое ожидание и дисперсия суммы испытаний равны сумме математических ожиданий и дисперсий одиночных событий:
M  =  N   p ,
D  =  N   p  (1 –  p ).

2
Рисунок 4.3.6.2.
Пример 2

Сосуд с N молекулами идеального газа мысленно разделён на две части, V 1 и V 2. Найти вероятность того, что в объёме V 1 будет содержаться N 1, а в объёме V 2  будет содержаться  N 2 молекул.

Показать решение

Имеем дело с биномиальным распределением с параметрами N  =  N 1  +  N 2 n  =  N 1 Таким образом, искомая вероятность равна

В частности, если объёмы частей сосуда равны друг другу, то вероятность обнаружить в половине сосуда ровно молекул описывается биномиальным распределением с математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением


Пример 3

Из пункта A по сети дорог идёт группа из N человек. На каждом перекрёстке, начиная с A , пришедшие туда люди с равной вероятностью поворачивают в направлении l и в направлении m . Сколько человек придёт в пункты B , C , D , …, I соответственно?

3
Рисунок 4.3.6.3
Показать решение

Биномиальное распределение связано с задачами о случайных блужданиях и перемешиваниях.

Пример 4

Пьяница случайным образом делает шаг вперёд или назад. Оцените, за какое количество шагов ему удастся добраться до дома, находящегося на расстоянии l от начала пути, при длине шага d ?

Показать решение

Математическое ожидание положения человека в этой задаче равно нулю. Попасть домой человек сможет только случайно: если отклонится от начальной точки слишком далеко – как раз на расстояние до дома. Поэтому нам нужно найти не распределение вероятностей, а, фактически, среднеквадратичное отклонение длины пройденного пути за n шагов.

Перемещения за n и n  + 1 шагов связаны соотношением
L n  + 1  =  L n  ±  d .

Возведём эту величину в квадрат и усредним:

Последний член просто равен математическому ожиданию, то есть нулю: а (величина d не является случайной). Тогда


Это формула арифметической прогрессии, значит,


Отсюда средний пройденный за n шагов путь


Как уже было сказано выше, откуда

Видно, что для того, чтобы преодолеть расстояние в 10 шагов, несчастному придётся сделать 100 шагов. Если до дома 100 шагов, то придётся прошагать целых 10000 раз.


Задача о пьянице, в свою очередь, отсылает нас к важному классу задач о диффузии и случайному перемешиванию сыпучих тел. Для каждого реального процесса распределение вероятностей выводится отдельно, но биномиальное распределение используется очень часто. Что будет, если увеличить количество испытаний N и шагать в одну сторону с очень маленькой вероятностью p , а в другую – с вероятностью, близкой к единице? Например, предположим, что Np  → λ. При этих предположениях биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона.

3. Распределение Пуассона имеет следующую плотность вероятности:


Доказательство
 

Биномиальное распределение описывается формулой Введём величину Тогда Перейдём в этой формуле к пределу при N  → ∞. Первая квадратная скобка при этом будет стремиться к 1 (так как каждый её множитель стремится к 1), а вторая – к e –1, что следует из определения замечательного предела e . Наконец, последняя скобка (в показателе степени) тоже будет стремиться к единице. Таким образом,

Величина p k  (λ) соответствует вероятности ровно k удачных исходов при условии, что среднее число удачных исходов составляет λ.

Этим распределением проще пользоваться, чем биномиальным. Параметр λ (напомним, что он определяется пределом  Np  → λ) здесь равен числу, которое соответствует математическому ожиданию величины x :
Mx  = λ,
Dx  = λ.

5
Рисунок 4.3.6.5.  

Закон Пуассона действует всякий раз, когда имеется много независимых испытаний N , а вероятность p каждого испытания так мала, что среднее число событий λ =  pN с данным исходом невелико.

Пример 5

В супе объёмом V плавает N перчинок. С какой вероятностью в ложку объёмом V 0 попадёт ровно n перчинок?

Показать решение

Если количество перчинок N велико, а отношение мало, то задача описывается распределением Пуассона.

В среднем, в ложке должны оказаться перчинок. Вероятность того, что в ложке окажется ровно n перчинок, равна В частности, при V = 10 л, л, N = 50 получаем (то есть одна перчинка, в среднем, попадается на 20 ложек), а вероятность:

  • того, что в ложке окажется ноль перчинок, p 0  ≈ 0,95123,
  • того, что в ложке окажется одна перчинка, p 1  ≈ 0,04756,
  • того, что в ложке окажется две перчинки, p 2  ≈ 0,00119,
  • того, что в ложке окажется три перчинки, p 3  ≈ 0,00002.

Как видим, p n очень быстро уменьшается с ростом n .


Распределением Пуассона описываются процессы типа количества телефонных вызовов за время t , вероятности аварий, оно же используется в теории страхования.