Вход через социальные сети

Непрерывные распределения вероятностей

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 258 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 661 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 539 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 27 561 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 2 600 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 431 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 550 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 561 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 994 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 4 042 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 809 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 804 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 5 481 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 943 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 587 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 588 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 984 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 086 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 356 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 051 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 732 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 761 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 599 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 326 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 855 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 258 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 661 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 539 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 27 561 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 2 600 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 431 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 550 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 561 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 994 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 4 042 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 809 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 804 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 5 481 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 943 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 587 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 588 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 984 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 086 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 356 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 051 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 732 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 761 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 599 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 326 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 855 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:21
adminus
0 up down

Непрерывные распределения вероятностей

Непрерывные распределения вероятностей

 

Если случайная величина A может принимать любые значения в интервале ( a b ), то такая случайная величина называется непрерывной .

Вернемся к стрелку, на примере которого мы вводили понятие дискретного распределения вероятностей. Тогда мы рассматривали результат его стрельбы в виде номера круга, в который он попал. Теперь же представим, что, попадая в мишень, стрела оставляет на мишени точку. Вероятность того, что стрела два раза попадёт в одно и то же место, очень мала, поэтому можно считать, что точки не пересекаются. Мы увидим примерно такую картинку.

1
Рисунок 4.3.7.1

Если разделить количество точек, попавших в небольшой квадрат площадью Δ S  = Δ x Δ y , на общее количество выстрелов, то получится вероятность попадания в выделенный квадрат. Запишем:

Здесь мы предполагаем, что площадка Δ S настолько мала, что попадания внутри этой площадки распределены равномерно. Тогда вероятность попадания в маленький квадрат будет зависеть от координаты центра этого квадрата и станет пропорциональной его площади:

При устремлении площади квадратика к нулю (вспомните школьный курс интегрального исчисления) конечные разности нужно заменить на дифференциалы: Итак,
Функция φ ( x y ), которая входит в это равенство, называется плотностью вероятности . Домноженная на дифференциал площади, она равна вероятности попадания стрелка в бесконечно малую окрестность точки ( x y ).

Если нам нужно будет узнать вероятность, с которой стрелок попадает в площадку мишени, на которой плотность вероятности нельзя считать постоянной, эту функцию придется интегрировать.

Плотность вероятности существует и для распределений, зависящих от одной переменной. Рассмотрим это на следующем примере.

Пусть x – это расстояние от точки, в которую попал стрелок, до центра мишени. Тогда p  ( dx ) = φ ( x dx – вероятность попадания стрелком в окрестность dx точки x . Вероятность того, что стрелок «попадёт» в промежуток [ x 1 x 2 ],

2
Рисунок 4.3.7.2

Отсюда следует важное свойство плотности вероятности. Поскольку попадание случайной величины x в интервал (–∞; +∞) – событие достоверное, то справедливо свойство нормировки плотности распределения вероятности .

Нормировка плотности распределения вероятности


Пример 1

Для некоторого случайного процесса график зависимости плотности вероятности от значения переменной x выглядит следующим образом:

3
Рисунок 4.3.7.3

Найти величину a .

Показать решение

Если φ ( x ) – плотность распределения вероятности, то В нашем случае Следовательно, Отсюда

Обратите внимание, что интеграл от функции равен площади под графиком функции. Следовательно, площадь под графиком функции плотности вероятности φ ( x ) равна единице.

Ответ.


Математическое ожидание величины x для непрерывного распределения, задаваемого плотностью φ ( x ), определяется формулой
а дисперсия – формулой

Среднеквадратичное отклонение по-прежнему задается формулой

Вообще, в том случае, если плотность распределения случайной величины x равна φ ( x ), математическое ожидание какой-либо функции f  ( x ) этой случайной величины задаётся формулой

 

Так же, как и для дискретных процессов, для непрерывной случайной величины существуют несколько характерных распределений вероятностей.

1. Постоянное распределение

Распределение, частный случай которого приведён в примере 1, называется постоянным распределением. Его плотность принимает одно и то же значение на некотором отрезке x    [ a b ] и равна нулю вне этого отрезка. Учитывая свойство нормировки плотности распределения становится ясно, что значение φ ( x ) полностью задаётся шириной отрезка [ a b ].

4
Рисунок 4.3.7.4.
Пример 2

Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение случайной величины x , а также среднее значение величины для постоянного распределения

Показать решение

Математическое ожидание для непрерывного распределения можно вычислить по формуле В нашем случае Этого и следовало ожидать: математическое ожидание величины x должно лежать в точности посередине отрезка [ a b ].

Дисперсия
Среднеквадратичное отклонение Наконец, среднее значение величины равно

Ответ.


2. Экспоненциальное , или показательное распределение

Рассмотрим прохождение потока частиц через какое-либо вещество. Часть частиц будет поглощаться веществом. Разделим мысленно среду на тонкие пластинки, и пусть, проходя через каждую пластинку, количество частиц в потоке уменьшается в p раз. Тогда, пройдя k пластинок, от начального потока останется лишь p k -я часть.

В реальных условиях процесс поглощения частиц всегда случаен. Можно сказать, что вероятность обнаружить частицу после прохождения через k пластинок равна где a – некоторая константа, значение которой мы найдём позже. Введём новую величину λ = –ln  p , тогда и Устремим ширину пластинки к нулю, одновременно увеличивая количество пластинок. В этом случае можно записать, что вероятность обнаружить частицу на глубине x внутри среды равна  ( x  > 0). Плотность распределения величины x можно вычислить при наложении дополнительного условия Так как выражение равно единице по условию нормировки, то a  = λ.

Плотность вероятности экспоненциального распределения описывается формулой

Его математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение можно получить путём интегрирования по частям. Пропуская вычисления, запишем сразу результат:

5
Рисунок 4.3.7.5.
Пример 3

Вероятность того, что лампочка перегорит ровно через t дней, подчиняется закону p 0  ( t ) = 0,02  e –0,02 t . Найти вероятность того, что 100 дней лампочка будет работать безотказно.

Показать решение

Найдём сначала вероятность перегорания за 100 дней:


Тогда вероятность безотказной работы


Ответ. 0,135


3. Рассматривая в предыдущем параграфе дискретные распределения, мы говорили о том, что если распределение вероятностей вызвано сложением большого количества случайных событий, каждое из которых мало влияет на результат, то это, скорее всего, распределение Пуассона. В аналогичном непрерывном случае получается распределение Гаусса , которое часто называют нормальным распределением .

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:


В этой формуле a – математическое ожидание величины x , а σ – ее среднеквадратичное отклонение. Вывод этой формулы из распределения Пуассона основан на формуле Стирлинга и разложении в ряд Тейлора; для школьного курса он слишком сложен, и поэтому мы его опускаем.

6
Рисунок 4.3.7.6.

Сумма двух нормальных распределений с параметрами и также является нормальным распределением с параметрами и

Пример 4

Показания счётчика Гейгера, регистрирующего количество пролетевших сквозь него за 1 секунду элементарных частиц, подчиняются распределению Найдите математическое ожидание показаний счётчика.

Показать решение

Предположим, что распределение является нормальным. В этом случае a  = 1000, σ = 50. Проверкой убеждаемся, что коэффициент перед экспонентой равен то есть распределение действительно является нормальным. Тогда частиц в секунду.

Ответ. 1000.


Пример 5

Определите среднее значение скорости молекул газа, если закон распределения скоростей молекул задаётся формулой Максвелла

Показать решение

Среднее значение скорости равно


Пример 6

Для данного выше распределения Максвелла вычислить дисперсию.

Показать решение

Имеем:

Ответ.  


Нормальному распределению подчиняются случайные ошибки измерений.

4. Частным случаем нормального распределения является логарифмически нормальное. Оно легко получается из нормального заменой x на ln  x :


Здесь учтено, что

Плотность логарифмически нормального распределения

7
Рисунок 4.3.7.7.
Модель 4.7. Распределения вероятностей