Вход через социальные сети

Понятие числовой функции

Тип Название темы Ответовсортировать по убыванию Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Интересная последовательность
Дана последовательность
...
- Xenia1996 1 714 Xenia1996
Теоретическая статья Введение в теорию вероятностей

Теория вероятностей

Тео́рия вероя́тностей —...

- adminus 52 945 18.08.2014 at 04:20 by adminus
Теоретическая статья Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые

...
- adminus 45 508 18.08.2014 at 04:25 by adminus
Теоретическая статья Параллельные прямые в пространстве

Параллельные прямые в пространстве

...
- adminus 76 794 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья FAQ

Ответы на часто задаваемые вопросы

  • ...
- adminus 79 716 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Тема форума Требуется помощь на контрольных работах по высшей математике курс 1 [оплата]
Требуется помощь на контрольных работах по высшей математике 1 курс.

Контрольная...
- DumBiK 1 843 DumBiK
Тема форума Геоетрия 8 кл
B равнобедренном треугольнике ABC c основанием AC медианы пересекаются в точке O. Найти площадь...
- мама 1 931 мама
Теоретическая статья Математика

Математика

Математик, который не...
- adminus 207 464 18.08.2014 at 04:13 by adminus
Тема форума Задачи по стереометрии - оплачиваемые
...
- Руслан111 1 936 Руслан111
Тема форума Бесконечно ли много квадратов в последовательности?
Дана последовательность натуральных чисел:
...
- Xenia1996 1 809 Xenia1996
Тема форума Тригонометрические неравенства
...
- ольгаша 1 858 ольгаша
Тема форума Интересная задача
Найти все значения х для которых

...
- ETNIES 2 383 ETNIES
Теоретическая статья Разложение выражений на множители

Разложение выражений на множители

...
- adminus 67 159 18.08.2014 at 04:18 by adminus
Теоретическая статья Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

...
- adminus 37 642 18.08.2014 at 04:23 by adminus
Теоретическая статья Окружность Аполлония

Окружность Аполлония

...
- adminus 36 277 18.08.2014 at 04:27 by adminus
Теоретическая статья Метод Гаусса

Метод Гаусса

- adminus 34 771 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Системы координат - adminus 38 969 18.08.2014 at 04:21 by adminus
Теоретическая статья Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник

...
- adminus 71 934 18.08.2014 at 04:25 by adminus
Теоретическая статья Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых

Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых

...
- adminus 44 093 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Тема форума Помогите Пожалуйста!
Найти значения параметров a и d. при которых прямая
x=3 + 4t
y= 1 +4t
z=-3 + t...
- Вася 305 1 754 Вася 305
Теоретическая статья Десятичные дроби

Десятичные дроби

...
- adminus 57 903 18.08.2014 at 04:15 by adminus
Тема форума подскажите пожалуйста как решить
найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения 4cosx*cos2x...
- tanya611 1 872 tanya611
Теоретическая статья Общие приёмы решения уравнений

Решение уравнения

...

- adminus 100 614 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Вектор-функции

Вектор-функции

...
- adminus 33 135 18.08.2014 at 04:24 by adminus
Теоретическая статья Базис. Общая декартова система координат

Базис. Общая декартова система координат

...
- adminus 48 264 18.08.2014 at 04:28 by adminus
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответовсортировать по убыванию Автор Просмотров Последнее сообщение
Интересная последовательность
Дана последовательность
...
- Xenia1996 1 714 Xenia1996
Интересная задача
Найти все значения х для которых

...
- ETNIES 2 383 ETNIES
Задачи по стереометрии - оплачиваемые
...
- Руслан111 1 936 Руслан111
Бесконечно ли много квадратов в последовательности?
Дана последовательность натуральных чисел:
...
- Xenia1996 1 809 Xenia1996
Тригонометрические неравенства
...
- ольгаша 1 858 ольгаша
Требуется помощь на контрольных работах по высшей математике курс 1 [оплата]
Требуется помощь на контрольных работах по высшей математике 1 курс.

Контрольная...
- DumBiK 1 843 DumBiK
Геоетрия 8 кл
B равнобедренном треугольнике ABC c основанием AC медианы пересекаются в точке O. Найти площадь...
- мама 1 931 мама
Помогите Пожалуйста!
Найти значения параметров a и d. при которых прямая
x=3 + 4t
y= 1 +4t
z=-3 + t...
- Вася 305 1 754 Вася 305
подскажите пожалуйста как решить
найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения 4cosx*cos2x...
- tanya611 1 872 tanya611
Range of f(x)
If ...
- jacks 1 802 jacks
задача
Pacстояние между селами A и B Равно 150 км. Из села A в Село B одновременно выезжают две машины....
- tanya611 1 752 tanya611
краевая задача, метод наименьших квадратов
Здравствуйте. Мне необходимо реализовать решение краевой задачи для диф. уравнения методом...
- carlos0n 2 114 carlos0n
логарифмы
...
- UMNICHKA 1 940 UMNICHKA
Координаты в пространстве
Вот тут 8 задачек которые я не могу ника решить ребята помогите пожалуйста!

только...
- headlong 1 938 headlong
3 задачи на решение
Ребят помогите с решением 3 задач, немогу понять откуда корни ростут, я заочник и этих тем нам не...
- beznavorotov 1 644 beznavorotov
Помогите пожалуйста c алгеброй)
2вс-в^2-c^2+a^2 / 2bc

^ этим сзнаком степень числа обозначена!

/ - дробная...
- Yuliya_Onischenko 1 727 Yuliya_Onischenko
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 2 402 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Геометрия!
Здравствуйте, Уважаемые Форумчане!!!!...
- vmamcev 2 224 vmamcev
Сумма 2011-ых степеней
Существуют ли 11...
- Xenia1996 1 699 Xenia1996
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 1 650 05.02.2015 at 09:24 by a_gaini_r
задачки по геометрии
Может, кто-то сможет помочь c задачкой на двугранные углы:

1) У правильной треугольной...
- mat-maniak 2 327 mat-maniak
Решить задачку
сечение цилиндра паралельно его оси отсекает от окружности дугу в 120 градусов. Радиус цилиндра 6...
- mmmarsel1991 1 867 mmmarsel1991
найти мин. и макс. значение выражения
Найти мин. и макс. значение выражения:
Sin(a) + cos(a)

Подскажите пожалуйста как...
- Racer 1 845 Racer
Показательно-степенное уравнение

Помогите, пожалуйста, решить такое уравнение:

...

- kohek 1 702 15.02.2016 at 00:41 by kohek
Планиметрия
Пять дней уже мучаюсь c этой задачей: не могу решить и всё. :-(((

Окружность касается...
- ARBUZ 1 943 ARBUZ
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:21
adminus
0 up down

Понятие числовой функции


Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.3. Числовые функции

1.3.1. Понятие числовой функции

Среди всего многообразия явлений природы существуют такие, в которых взаимосвязь величин настолько тесна, что, зная значение одной из них, можно определить и значение другой.

Пусть задано числовое множество Если каждому числу поставлено в соответствие единственное число y , то говорят, что на множестве D задана числовая функция :
y  =  f  ( x ),

Множество D называется областью определения функции и обозначается D  ( f  ( x )). Множество, состоящее из всех элементов f  ( x ), где называется областью значений функции и обозначается E  ( f  ( x )).

Число x часто называют аргументом функции или независимой переменной, а число y – зависимой переменной или, собственно, функцией переменной x . Число   соответствующее значению называют значением функции в точке и обозначают или

Для того чтобы задать функцию f , нужно указать:

1) ее область определения D  ( f  ( x ));

2) указать правило f , по которому каждому значению ставится в соответствие некоторое значение y  =  f  ( x ).

Запись   означает, что D  ( f  ( x )) = [–1; 2]. Если область определения не указана, то за область определения принимают множество всех значений аргумента, для которых данное выражение имеет смысл. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.).

Функции f и g называются равными, если они имеют одну и ту же область определения D и для каждого значения этих функций совпадают. В этом случае пишут f  ( x ) =  g  ( x ), или f  =  g . Если же значения этих функций совпадают лишь на некотором множестве   и то говорят, что функции равны на множестве   Так, например, функции f  = 1 и равны на всем множестве , а функции и g  =  x равны на множестве  

Пусть функции f  ( x ) и g  ( x ) определены на одном и том же множестве D . Тогда функция, значения которой в каждой точке равны f  ( x ) +  g  ( x ), называется суммой функций    f и g и обозначается f  +  g . Точно так же определяются разность    f  –  g , произведение    f  ·  g и частное    f  /  g двух функций (частное определено на множестве D , если на этом множестве g  ( x ) ≠ 0).

Пусть функции y  =  g  ( x ) и z  =  f  ( y ) определены на множествах D и E соответственно, причем множество значений функции f содержится в области определения функции g . Тогда функция, принимающая при каждом значение f  ( g  ( x )), называется сложной функций или суперпозицией функций f и g и обозначается Так, функция z  = sin ( x  – 1) является суперпозицией функций y  =  x  – 1 и z  = sin  y .
Важно отметить, что в общем случае суперпозиция не совпадает с ; так, в нашем примере , а

Функции могут задаваться различными способами. Самый распространенный из них – аналитический, когда числовая функция задается при помощи формулы. Вот некоторые примеры.

  • Формулой S  ( r ) = π r 2 задается функция зависимости площади круга от радиуса.
  • Функция ºF (ºC) определяет перевод температуры из градусов Цельсия в градусы Фаренгейта:
  • Если деньги положены в банк под p процентов годовых, а сумма, положенная в банк изначально, равна   то через n лет в банке будет – функция от количества лет, на которые положены средства  Эта формула называется формулой сложных процентов .
  • При равномерном движении скорость тела является функцией времени: s  ( t ) =  v  ·  t .
  • Функция x  ( t ) =  A  cos (ω t  + φ) задает гармонические колебания. Здесь A  – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ – начальная фаза.
  • Функция называется формулой радиоактивного распада . Здесь – начальное количество радиоактивного вещества, m  ( t ) – текущее, T – период полураспада.

Функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Так, формулы
f  ( x ) =  задают на множестве действительных чисел функцию f  ( x ) = | x |, называемою модулем , а формулы
f  ( x ) =  определяют функцию Дирихле . Иногда функция задается в виде таблицы численных значений. Наконец, функции могут задаваться при помощи графиков:

График 1.3.1.1.
График функции y  =  x 2  + 1 на D  = [–2; 2]. По числовым осям заштрихованы область определения и область значений функции.

Графиком функции y  =  f  ( x ) в выбранной системе координат называется множество всех точек ( x y ), для которых выполняется равенство y  =  f  ( x ).

Для того, чтобы кривая на декартовой координатной плоскости была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы всякая прямая, параллельная оси ординат, либо не пересекалась с этой линией, либо пересекала ее в одной точке. Согласно этому определению окружность, например, не может быть графиком никакой функции, так как некоторым значениям x точек, принадлежащих этой кривой (например, абсциссе центра окружности), соответствуют два значения y .

Число a называется нулем функции   f  ( x ), если
f  ( a ) = 0.

График функции пересекает ось абсцисс в точках с абциссами, равными нулям функций.

Эскиз графика может быть построен выбором на оси OX нескольких значений аргументов x i , построением точек ( x i f  ( x i )) и соединением этих точек линиями. Если графиком функции является достаточно плавная кривая, то, соединяя полученные точки гладкой линией, мы получим эскиз искомого графика.

Рисунок 1.3.1.1. Существуют функции, графики которых состоят из нескольких участков. К таковым, например, относится функция y  = sign ( x ). График функции y  = [ x ], где скобки означают взятие целой части числа, состоит из бесконечного количества отрезков. Наконец, ряд графиков функций не содержит ни одной «непрерывной» части. К таковым относится, например, числовая последовательность, которую можно определить как числовую функцию на множестве натуральных чисел

Эскиз графика строится по нескольким точкам; линия эскиза графика на чертеже всегда конечной толщины (в то время как в математике линия графика считается бесконечно тонкой). Все это приводит к тому, что узнать значение функции по графику можно лишь приближенно. Тем не менее график является удобным средством для исследования функции и во многих случаях используется, чтобы визуально представить ход изменения функции.