Вход через социальные сети

Понятие числовой функции

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Теоретическая статья Предел - adminus 28 343 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Поверхности второго порядка - adminus 32 036 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнение прямой - adminus 32 754 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Скалярное произведение векторов - adminus 28 361 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Преобразование уравнений при изменении координат - adminus 25 244 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Уравнение линии - adminus 26 339 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Дифференциальные уравнения - adminus 34 125 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Уравнение поверхности и уравнение линии - adminus 32 429 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Высшая математика (математический анализ) - adminus 69 087 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Линейные операции над векторами - adminus 25 804 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Геометрические свойства линий второго порядка - adminus 25 670 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Основные типы дифференциальных уравнений

Основные типы дифференциальных уравнений

...
- adminus 33 733 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья направленный отрезок

направленный отрезок

Определение:Направленный отрезок...

- adminus 30 524 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Векторное и смешаное произведения векторов - adminus 32 494 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве - adminus 33 112 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Линии первого порядка - adminus 31 489 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Разностные уравнения

Разностные уравнения

- adminus 28 115 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Основная проблема теории дифференциальных уравнений

Основная проблема теории дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения, являются...
- adminus 28 503 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Системы линейных уравнений общего вида

Системы линейных уравнений общего вида

- adminus 31 091 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Матричный метод

Матричный метод

- adminus 27 601 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Формулы Крамера

Формулы Крамера

- adminus 36 662 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Метод Гаусса

Метод Гаусса

- adminus 29 553 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Критерий совместности Кронекера-Капелли

Критерий совместности Кронекера-Капелли

- adminus 32 745 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Системы линейных уравнений - adminus 27 802 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Обратная матрица

Обратная матрица

- adminus 32 642 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Найдите касательную
Здравствуйте! Нужна ваша помощь
Из одной точки к окружности проведены касательная и секущая....
3 / - akirachin1 4 513 10.05.2014 at 21:34 by zam2
задача по геометрии
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1. Из вершины В на эти биссектрисы опущены...
10 / - tata00tata 9 772 27.04.2014 at 06:53 by bot
Задача на производную
Задача: Площадь треугольника 6. Найти наименьшую площадь квадрата, построенного на...
4 / - Atom0 3 593 23.04.2014 at 16:29 by Atom0
Пересечение парабол
Две произвольные (в т. ч. и вырожденные, с абсолютно любыми коеффициентами в действительном...
11 / - sud08271 6 754 22.04.2014 at 17:47 by sud08271
Нечётная функция
Прошу подсказать, верно ли я рассуждаю по задаче.
Суть задачи: нечётная функция f1...
1 / - hranitel6 2 085 18.04.2014 at 09:42 by bot
C5 из егэ
Здравствуйте. Подскажите пожалуйста, что делать.
Найти все значения параметра а при каждом из...
8 / - tata00tata 5 601 16.04.2014 at 20:10 by СергейП
вопрос по геометрии
В ромб вписана окружность. радиус окружности равен площадь ромба делить на его полупериметр. Как...
31 / - tata00tata 11 388 16.04.2014 at 15:36 by tata00tata
путаница с чеком
Один человек пришел в банк, чтобы получить деньги по чек. кассир, при оплате чека ошибся, и вместо...
2 / - parnerdizayn7name 2 908 24.03.2014 at 09:45 by Potapych
Подскажите, пожалуйста, с чего начать
Найдите все натуральные значения m при каждом их которых ...
5 / - Ольга007 4 372 19.03.2014 at 10:12 by ponedilchyk
Положительные и отрицательные числа, действия с ними
Занимаюсь самообразованием, не вполне могу разобраться.

Итак, у нас есть некое...
1 / - Сергей Боголюбов 2 996 01.03.2014 at 23:23 by Hottabych
геометрия
в треугольнике АВС проекция АВ на ВС 2корень квадратный из3 а проекция АС на ВС 8см угол АВС 60*...
1 / - mamedov76 1 983 28.02.2014 at 00:33 by tata00tata
геометрия
стороны треугольника 11 см.15 см.16 см. найти проекции наименьших и наибольших сторон на среднюю...
9 / - mamedov76 5 109 27.02.2014 at 23:44 by omega
Ненадёжные весы
Даны чашечные весы, имеющие особенность — они могут выдержать ровно ...
12 / - Таланов 6 083 23.02.2014 at 09:50 by bot
Комплексные корни квадратного уравнения
Давно хочу понять - вот действительные корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0...
10 / - vladk 6 416 21.02.2014 at 08:27 by kiv
1 2 5 9
У кого хорошо с детской математикой?

Тренирую малого к поступлению в 5 класс. Дали нам...
4 / - kiv 3 290 17.02.2014 at 16:47 by grigoriy
полярная система координат
Скажите пожалуйста, правильно ли я понимаю
1) уравнение
...
4 / - tata00tata 2 975 10.02.2014 at 20:46 by tata00tata
Выразить объем пирамиды как функцию х
Здравствуйте! Сразу предупрежу, моя племянница учится на другом языке (на французском), поэтому,...
7 / - margoblues 4 677 08.02.2014 at 06:28 by bot
Расчет длины затухающей синусоиды
Здравствуйте. Помогите найти формулу (вывести) для расчета длины затухающей синусоиды. То есть, на...
4 / - Володимир405 4 602 30.01.2014 at 13:08 by zam2
геометрия
В основании прямой призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник. Найти сечение,...
3 / - Janets 4 017 28.01.2014 at 09:02 by walkrunm
c5 егэ
Здравствуйте! У меня немного не совпадает ответ, подскажите пожалуйста, что я не так делаю
...
12 / - tata00tata 8 682 27.01.2014 at 20:32 by zam2
Сумма длин ребер прямоугольного параллелепипеда.Задача для 5 класса
Задачу для 5 класса не могу решить. Пожалуйста, помогите найти ошибку в решении.
Задача.Сумма...
4 / - Аннана 11 515 26.01.2014 at 04:05 by Аннана
Уравнение прямоугольного треугольника.
Дано: прямоугольный треугольник ABC, координаты его вершин следующие:
A(0;0) B(0;b) C(a;0)...
6 / - geh 5 153 12.01.2014 at 19:03 by Hottabych
быстрое умножение
Вообще в школе изучаются формулы сокращенного умножения, например
...
5 / - geh 4 762 07.01.2014 at 14:04 by geh
Общие члены арифметических прогрессий
Здравствуйте, дана задача:
Сколько одинаковых членов находится среди первых 400 членов...
4 / - kerf 4 379 07.01.2014 at 08:23 by bot
Школьные теоремы методом координат?
Есть ли такая литература, где школьные геометрические теоремы доказываются методом координат?...
5 / - Valambar 5 041 04.01.2014 at 19:12 by walkrunm
18.08.2014, 04:21
adminus
0 up down

Понятие числовой функции


Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.3. Числовые функции

1.3.1. Понятие числовой функции

Среди всего многообразия явлений природы существуют такие, в которых взаимосвязь величин настолько тесна, что, зная значение одной из них, можно определить и значение другой.

Пусть задано числовое множество Если каждому числу поставлено в соответствие единственное число y , то говорят, что на множестве D задана числовая функция :
y  =  f  ( x ),

Множество D называется областью определения функции и обозначается D  ( f  ( x )). Множество, состоящее из всех элементов f  ( x ), где называется областью значений функции и обозначается E  ( f  ( x )).

Число x часто называют аргументом функции или независимой переменной, а число y – зависимой переменной или, собственно, функцией переменной x . Число   соответствующее значению называют значением функции в точке и обозначают или

Для того чтобы задать функцию f , нужно указать:

1) ее область определения D  ( f  ( x ));

2) указать правило f , по которому каждому значению ставится в соответствие некоторое значение y  =  f  ( x ).

Запись   означает, что D  ( f  ( x )) = [–1; 2]. Если область определения не указана, то за область определения принимают множество всех значений аргумента, для которых данное выражение имеет смысл. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.).

Функции f и g называются равными, если они имеют одну и ту же область определения D и для каждого значения этих функций совпадают. В этом случае пишут f  ( x ) =  g  ( x ), или f  =  g . Если же значения этих функций совпадают лишь на некотором множестве   и то говорят, что функции равны на множестве   Так, например, функции f  = 1 и равны на всем множестве , а функции и g  =  x равны на множестве  

Пусть функции f  ( x ) и g  ( x ) определены на одном и том же множестве D . Тогда функция, значения которой в каждой точке равны f  ( x ) +  g  ( x ), называется суммой функций    f и g и обозначается f  +  g . Точно так же определяются разность    f  –  g , произведение    f  ·  g и частное    f  /  g двух функций (частное определено на множестве D , если на этом множестве g  ( x ) ≠ 0).

Пусть функции y  =  g  ( x ) и z  =  f  ( y ) определены на множествах D и E соответственно, причем множество значений функции f содержится в области определения функции g . Тогда функция, принимающая при каждом значение f  ( g  ( x )), называется сложной функций или суперпозицией функций f и g и обозначается Так, функция z  = sin ( x  – 1) является суперпозицией функций y  =  x  – 1 и z  = sin  y .
Важно отметить, что в общем случае суперпозиция не совпадает с ; так, в нашем примере , а

Функции могут задаваться различными способами. Самый распространенный из них – аналитический, когда числовая функция задается при помощи формулы. Вот некоторые примеры.

  • Формулой S  ( r ) = π r 2 задается функция зависимости площади круга от радиуса.
  • Функция ºF (ºC) определяет перевод температуры из градусов Цельсия в градусы Фаренгейта:
  • Если деньги положены в банк под p процентов годовых, а сумма, положенная в банк изначально, равна   то через n лет в банке будет – функция от количества лет, на которые положены средства  Эта формула называется формулой сложных процентов .
  • При равномерном движении скорость тела является функцией времени: s  ( t ) =  v  ·  t .
  • Функция x  ( t ) =  A  cos (ω t  + φ) задает гармонические колебания. Здесь A  – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ – начальная фаза.
  • Функция называется формулой радиоактивного распада . Здесь – начальное количество радиоактивного вещества, m  ( t ) – текущее, T – период полураспада.

Функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Так, формулы
f  ( x ) =  задают на множестве действительных чисел функцию f  ( x ) = | x |, называемою модулем , а формулы
f  ( x ) =  определяют функцию Дирихле . Иногда функция задается в виде таблицы численных значений. Наконец, функции могут задаваться при помощи графиков:

График 1.3.1.1.
График функции y  =  x 2  + 1 на D  = [–2; 2]. По числовым осям заштрихованы область определения и область значений функции.

Графиком функции y  =  f  ( x ) в выбранной системе координат называется множество всех точек ( x y ), для которых выполняется равенство y  =  f  ( x ).

Для того, чтобы кривая на декартовой координатной плоскости была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы всякая прямая, параллельная оси ординат, либо не пересекалась с этой линией, либо пересекала ее в одной точке. Согласно этому определению окружность, например, не может быть графиком никакой функции, так как некоторым значениям x точек, принадлежащих этой кривой (например, абсциссе центра окружности), соответствуют два значения y .

Число a называется нулем функции   f  ( x ), если
f  ( a ) = 0.

График функции пересекает ось абсцисс в точках с абциссами, равными нулям функций.

Эскиз графика может быть построен выбором на оси OX нескольких значений аргументов x i , построением точек ( x i f  ( x i )) и соединением этих точек линиями. Если графиком функции является достаточно плавная кривая, то, соединяя полученные точки гладкой линией, мы получим эскиз искомого графика.

Рисунок 1.3.1.1. Существуют функции, графики которых состоят из нескольких участков. К таковым, например, относится функция y  = sign ( x ). График функции y  = [ x ], где скобки означают взятие целой части числа, состоит из бесконечного количества отрезков. Наконец, ряд графиков функций не содержит ни одной «непрерывной» части. К таковым относится, например, числовая последовательность, которую можно определить как числовую функцию на множестве натуральных чисел

Эскиз графика строится по нескольким точкам; линия эскиза графика на чертеже всегда конечной толщины (в то время как в математике линия графика считается бесконечно тонкой). Все это приводит к тому, что узнать значение функции по графику можно лишь приближенно. Тем не менее график является удобным средством для исследования функции и во многих случаях используется, чтобы визуально представить ход изменения функции.