Вход через социальные сети

Понятие числовой функции

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Теоретическая статья направленный отрезок

направленный отрезок

Определение:Направленный отрезок...

- adminus 32 321 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Векторное и смешаное произведения векторов - adminus 33 897 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве - adminus 35 033 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Линии первого порядка - adminus 33 265 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Разностные уравнения

Разностные уравнения

- adminus 29 356 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Основная проблема теории дифференциальных уравнений

Основная проблема теории дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения, являются...
- adminus 30 554 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Системы линейных уравнений общего вида

Системы линейных уравнений общего вида

- adminus 32 555 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Матричный метод

Матричный метод

- adminus 29 029 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Формулы Крамера

Формулы Крамера

- adminus 38 477 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Метод Гаусса

Метод Гаусса

- adminus 31 767 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Критерий совместности Кронекера-Капелли

Критерий совместности Кронекера-Капелли

- adminus 34 100 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Системы линейных уравнений - adminus 29 217 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Обратная матрица

Обратная матрица

- adminus 33 926 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Ранг матрицы

Ранг матрицы

- adminus 33 020 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Определители

Определители

- adminus 29 804 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Матрицы и определители - adminus 35 306 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Матрицы. Операции над матрицами

Матрицы. Операции над матрицами

4.1.Матрицы. Операции над матрицами

...
- adminus 40 594 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость и прямая в пространстве

- adminus 40 883 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Уравнения прямых и кривых на плоскости

Уравнения прямых и кривых на плоскости

- adminus 36 860 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Вектор. Основные свойства.

Вектор. Основные свойства.

- adminus 36 989 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Объем шара - adminus 29 639 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Аналитическая геометрия (пока почти пусто) - adminus 70 682 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Объём шара

Объём шара

Введём декартовы координаты, приняв центр шара за начало...

- adminus 22 653 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Объемы и поверхности тел вращения - adminus 33 892 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Объем цилиндра и конуса

Объем цилиндра и конуса

...
- adminus 30 369 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
быстрое умножение
Вообще в школе изучаются формулы сокращенного умножения, например
...
5 / - geh 4 945 07.01.2014 at 14:04 by geh
Общие члены арифметических прогрессий
Здравствуйте, дана задача:
Сколько одинаковых членов находится среди первых 400 членов...
4 / - kerf 4 583 07.01.2014 at 08:23 by bot
Школьные теоремы методом координат?
Есть ли такая литература, где школьные геометрические теоремы доказываются методом координат?...
5 / - Valambar 5 175 04.01.2014 at 19:12 by walkrunm
преобразование логарифмического выражения
Здравствуйте! Наверное решается в одно действие, но что-то не пойму, подскажите пожалуйста...
2 / - tata00tata 2 964 23.12.2013 at 18:08 by tata00tata
Что такое инфляция?
Допустим у меня сегодня есть 60 руб. и я могу на них купить 6 стаканов чая по 10 руб. Завтра...
7 / - Таланов 5 271 23.12.2013 at 12:31 by Варвар
тригонометрическое выражение
тригонометрия. надо решить

Найдите значение выражения 16sin(a-pi/4), если sin2a=23/32...
4 / - sergey001 5 268 19.12.2013 at 17:29 by geh
Решить уравнение(тригонометрия)
Абсолютно ничего не могу придумать
Смущает аргумент при синусе
sin 3p*x/4 + x^2 - 4x + 5...
1 / - n11ceo 2 528 16.12.2013 at 19:11 by geh
Уравнение квадрата.
Дано уравнение
|x-a|+|x-b|=c
откуда оно взялось и как его решать??
Это уравнение...
3 / - geh 12 889 16.12.2013 at 12:43 by Ian
Уравнение с целой и дробной частью.
Решить уравнение:
x*[x]*{x}=a 0...
1 / - Amir Alison 5 651 14.12.2013 at 19:04 by geh
Задание с параметром
При каких значениях a...
5 / - GrandCub 6 913 14.12.2013 at 14:44 by geh
найти интервал убывания функции
функция вида 3|x+2|
я решал в следующем виде
3(x+2)=0
3x+6=0
x=-2
далее...
5 / - yuri94 5 228 14.12.2013 at 13:27 by bot
Сумма степеней натуральных чисел.
Дано:
...
3 / - geh 3 907 14.12.2013 at 10:26 by Ian
Помогите пожалуйста с многочленом
Многочлен ...
3 / - GrandCub 5 702 13.12.2013 at 12:38 by geh
Контрольная работа
Добрый день. Объясните мне почему учитель поставила 4 и утверждает, что задача решена не верно
4 / - inessa-liliya 4 064 13.12.2013 at 11:38 by bot
Приведение подобных слагаемых
Здравствуйте!
Обьясните, пожалуйста, как в данном примере раскрыли скобки и привели подобные...
1 / - semmyk1 3 172 06.12.2013 at 17:51 by Albe
помогите найти сумму ряда
Здравствуйте, подскажите пожалуйста с решением

...
8 / - nikita1 6 758 03.12.2013 at 20:33 by Ian
Помогите решить задачу для 5 класса.
Здравствуйте.
Помогите пожалуйста решить вот такую задачу из учебника по математике для 5...
7 / - Andrei-78 22 408 30.11.2013 at 11:43 by Madara
Почему синус и косинус по формуле приведения не сходятся?
Вроде как ...
8 / - Raven182 5 956 29.11.2013 at 22:54 by zykov
Задача, найти сумму ряда
Здравствуйте
Понадобилось найти сумму ряда \sum_{n1 = 0}^{n} n-n1+1

Ряд мне...
6 / - nastenysh92 6 027 26.11.2013 at 19:10 by bot
задача по геометрии
Здравствуйте! Есть задача

Биссектриса угла М треугольника MNK делит медиану NN1 в...
2 / - tata00tata 6 800 21.11.2013 at 16:20 by tata00tata
Интересная задачка про пирамиду с кривыми числами
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12,а диагональ основания равна 10.Найдите площадь...
11 / - vit105money 8 700 18.11.2013 at 18:26 by Купуте
Рациональное уравнение
Скажите, пожалуйста, можно решить это уравнение если перенести x-1/x-8 в левую часть и привести...
2 / - semmyk1 3 325 15.11.2013 at 15:11 by zam2
Показательное неравенство))
Помогите, пожалуйста.

3^(2x+1) *2^(2x-3)
4 / - Tatata 4 313 11.11.2013 at 13:12 by Albe
Задачка для 1-го класса
... в котором первая цифра обозначает число нулей в числе, вторая - число единиц в числе, третья...
1 / - Таланов 3 164 03.11.2013 at 09:17 by zam2
Задача из ЕГЭ по математике
Помогите решить.
Площадь параллелограмма АВСD равна 3. Точка H - середина стороны AD....
1 / - vicka_fun 3 371 29.10.2013 at 13:27 by Nameless_2013
18.08.2014, 04:21
adminus
0 up down

Понятие числовой функции


Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.3. Числовые функции

1.3.1. Понятие числовой функции

Среди всего многообразия явлений природы существуют такие, в которых взаимосвязь величин настолько тесна, что, зная значение одной из них, можно определить и значение другой.

Пусть задано числовое множество Если каждому числу поставлено в соответствие единственное число y , то говорят, что на множестве D задана числовая функция :
y  =  f  ( x ),

Множество D называется областью определения функции и обозначается D  ( f  ( x )). Множество, состоящее из всех элементов f  ( x ), где называется областью значений функции и обозначается E  ( f  ( x )).

Число x часто называют аргументом функции или независимой переменной, а число y – зависимой переменной или, собственно, функцией переменной x . Число   соответствующее значению называют значением функции в точке и обозначают или

Для того чтобы задать функцию f , нужно указать:

1) ее область определения D  ( f  ( x ));

2) указать правило f , по которому каждому значению ставится в соответствие некоторое значение y  =  f  ( x ).

Запись   означает, что D  ( f  ( x )) = [–1; 2]. Если область определения не указана, то за область определения принимают множество всех значений аргумента, для которых данное выражение имеет смысл. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.).

Функции f и g называются равными, если они имеют одну и ту же область определения D и для каждого значения этих функций совпадают. В этом случае пишут f  ( x ) =  g  ( x ), или f  =  g . Если же значения этих функций совпадают лишь на некотором множестве   и то говорят, что функции равны на множестве   Так, например, функции f  = 1 и равны на всем множестве , а функции и g  =  x равны на множестве  

Пусть функции f  ( x ) и g  ( x ) определены на одном и том же множестве D . Тогда функция, значения которой в каждой точке равны f  ( x ) +  g  ( x ), называется суммой функций    f и g и обозначается f  +  g . Точно так же определяются разность    f  –  g , произведение    f  ·  g и частное    f  /  g двух функций (частное определено на множестве D , если на этом множестве g  ( x ) ≠ 0).

Пусть функции y  =  g  ( x ) и z  =  f  ( y ) определены на множествах D и E соответственно, причем множество значений функции f содержится в области определения функции g . Тогда функция, принимающая при каждом значение f  ( g  ( x )), называется сложной функций или суперпозицией функций f и g и обозначается Так, функция z  = sin ( x  – 1) является суперпозицией функций y  =  x  – 1 и z  = sin  y .
Важно отметить, что в общем случае суперпозиция не совпадает с ; так, в нашем примере , а

Функции могут задаваться различными способами. Самый распространенный из них – аналитический, когда числовая функция задается при помощи формулы. Вот некоторые примеры.

  • Формулой S  ( r ) = π r 2 задается функция зависимости площади круга от радиуса.
  • Функция ºF (ºC) определяет перевод температуры из градусов Цельсия в градусы Фаренгейта:
  • Если деньги положены в банк под p процентов годовых, а сумма, положенная в банк изначально, равна   то через n лет в банке будет – функция от количества лет, на которые положены средства  Эта формула называется формулой сложных процентов .
  • При равномерном движении скорость тела является функцией времени: s  ( t ) =  v  ·  t .
  • Функция x  ( t ) =  A  cos (ω t  + φ) задает гармонические колебания. Здесь A  – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ – начальная фаза.
  • Функция называется формулой радиоактивного распада . Здесь – начальное количество радиоактивного вещества, m  ( t ) – текущее, T – период полураспада.

Функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Так, формулы
f  ( x ) =  задают на множестве действительных чисел функцию f  ( x ) = | x |, называемою модулем , а формулы
f  ( x ) =  определяют функцию Дирихле . Иногда функция задается в виде таблицы численных значений. Наконец, функции могут задаваться при помощи графиков:

График 1.3.1.1.
График функции y  =  x 2  + 1 на D  = [–2; 2]. По числовым осям заштрихованы область определения и область значений функции.

Графиком функции y  =  f  ( x ) в выбранной системе координат называется множество всех точек ( x y ), для которых выполняется равенство y  =  f  ( x ).

Для того, чтобы кривая на декартовой координатной плоскости была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы всякая прямая, параллельная оси ординат, либо не пересекалась с этой линией, либо пересекала ее в одной точке. Согласно этому определению окружность, например, не может быть графиком никакой функции, так как некоторым значениям x точек, принадлежащих этой кривой (например, абсциссе центра окружности), соответствуют два значения y .

Число a называется нулем функции   f  ( x ), если
f  ( a ) = 0.

График функции пересекает ось абсцисс в точках с абциссами, равными нулям функций.

Эскиз графика может быть построен выбором на оси OX нескольких значений аргументов x i , построением точек ( x i f  ( x i )) и соединением этих точек линиями. Если графиком функции является достаточно плавная кривая, то, соединяя полученные точки гладкой линией, мы получим эскиз искомого графика.

Рисунок 1.3.1.1. Существуют функции, графики которых состоят из нескольких участков. К таковым, например, относится функция y  = sign ( x ). График функции y  = [ x ], где скобки означают взятие целой части числа, состоит из бесконечного количества отрезков. Наконец, ряд графиков функций не содержит ни одной «непрерывной» части. К таковым относится, например, числовая последовательность, которую можно определить как числовую функцию на множестве натуральных чисел

Эскиз графика строится по нескольким точкам; линия эскиза графика на чертеже всегда конечной толщины (в то время как в математике линия графика считается бесконечно тонкой). Все это приводит к тому, что узнать значение функции по графику можно лишь приближенно. Тем не менее график является удобным средством для исследования функции и во многих случаях используется, чтобы визуально представить ход изменения функции.