Вход через социальные сети

Декартовы координаты

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Решительно пожалуйсто

В первом ведре в 4 раза больше воды чем ва втором,а в 3  ведре как во втором и первом вместе,...

11 / - chernyack.tatiana 647 08.12.2017 at 16:45 by grigoriy
Тема форума Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 850 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 1 001 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 2 406 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 1 633 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 31 906 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 4 426 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 1 025 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 1 133 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 1 170 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 883 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 7 110 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 1 393 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 409 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 8 199 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 544 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 2 389 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 2 381 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 916 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 683 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 2 048 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 661 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 2 499 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 2 548 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 2 290 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Решительно пожалуйсто

В первом ведре в 4 раза больше воды чем ва втором,а в 3  ведре как во втором и первом вместе,...

11 / - chernyack.tatiana 647 08.12.2017 at 16:45 by grigoriy
Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 850 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 1 001 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 2 406 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 1 633 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 31 906 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 4 426 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 1 025 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 1 133 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 1 170 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 883 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 7 110 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 1 393 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 409 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 8 199 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 544 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 2 389 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 2 381 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 916 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 683 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 2 048 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 661 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 2 499 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 2 548 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 2 290 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:26
adminus
0 up down

Декартовы координаты


Глава 10. Декартовы координаты

10.1. Основные понятия

Рассмотрим прямую a и произвольную точку O на ней. Точка O разбивает прямую на два взаимно дополнительных луча. Любой точке A , лежащей на одном из лучей, припишем (поставим в соответствие) число, равное OA – длине отрезка OA . Обозначим этот луч a +. Точке O припишем число ноль, а любой точке B , лежащей на луче a , дополнительном к лучу a +, припишем отрицательное число (– OB ), где OB – длина отрезка OB . Любая прямая с фиксированной на ней точкой O , такая, что каждой ее точке приписано число в соответствии с указанным правилом, называется числовой прямой , а точка O – ее началом .

Свойство 10.1. 

Любой точке числовой прямой приписано единственное число, и наоборот, для любого действительного числа существует единственная на числовой прямой точка, к которой оно приписано.

Доказательство

Пусть a – данная числовая прямая, а A – произвольная точка на ней. Если A совпадает с началом O , то по определению ей и только ей приписано число ноль. Пусть A не совпадает с точкой O . Тогда она принадлежит одному из лучей a + или a прямой a , на которые ее разбивает точка O . Пусть для определенности это луч a +. Припишем точке A число x , равное длине отрезка OA . Пусть A приписано еще какое-либо число x 1  ≠ x . Если x 1  ≤ 0, то это противоречит предположениям о несовпадении точки A с точкой O и принадлежности лучу a +. Если x 1 > 0, то по выбранному нами правилу соответствия положения точки на прямой числу x 1  =  OA . По аксиоме 2.4 x 1  =  x , что противоречит предположению. Следовательно, точке A данной числовой прямой соответствует единственное число.

Пусть задано число x . Для определенности положим x  > 0. Отложим от точки O на луче a + отрезок OA длиной OA  =  x . Предположим, что существует точка B , отличная от точки A , такая, что OB  =  x . По аксиоме 1.5 точки A и B совпадают, что противоречит предположению. Следовательно, данное число определяет единственную точку на числовой прямой, которой оно соответствует по указанному выше правилу. Свойство 10.1 доказано.

Число x , приписанное точке A числовой прямой, называется ее координатой . Будем точку A числовой прямой, при необходимости указать ее координату x , записывать A  ( x ).

В силу свойства 10.1 множество действительных чисел приписано точкам числовой прямой. Из алгебры мы знаем важное свойство действительных чисел – их упорядоченность, состоящее в том, что для любых двух разных чисел x 1 и x 2 можно сказать, что одно из них меньше другого, например, x 1 x 2. Поэтому в силу определения координаты точки на числовой прямой естественный порядок действительных чисел задает порядок следования точек на числовой прямой. Этот факт можно сформулировать в виде следующего свойства.

Свойство 10.2. 

Для любых трех точек A  ( x 1 ), B  ( x 2 ) и C  ( x 3 ) числовой прямой из условия x 1 x 2 x 3 следует, что точка B  лежит между точками A и C . Верно и обратное.

Чтобы показать направление возрастания координат точек на числовой прямой, ее помечают стрелочкой.

Доказательство

Возможны следующие случаи:

    а) x 1 < x 2  <  x 3 < 0;

    б) x 1 < x 2  < 0 <  x 3 ;

    в) x 1  < 0 < x 2  <  x 3 ;

    г) 0 <  x 1  <  x 2  <  x 3.

Рассмотрим последовательно все случаи.

    а) По определению x 1  = – OA x 2  = – OB x 3  = – OC . По условию – OA  < – OB  < – OC или OA  >  OB  >  OC , причем точки A , B и C лежат на луче a по одну сторону от точки O . Допустим, B не лежит между A и C . Тогда точки A и C лежат по одну сторону от B . Если точка O лежит по ту же сторону от B , что и точки A и C , то OB  =  OA  +  AB , откуда OB  >  OA , и мы приходим к противоречию. Если же точка O и точки A и C лежат по разные стороны от точки B , то OC  =  OB  +  BC и OC  >  OB , что снова противоречит условиям. Таким образом, в этом случае B лежит между A и C .

Рисунок 10.1.1.

    б) Из условия точки A и B лежат на a , а точка C на a +. Пусть B не лежит между A и C . Тогда A и C лежат по одну сторону от точки B . При этом точка O лежит по ту же сторону от B , что и точки A и C , в противном случае, если предположить, что точка O лежит по другую сторону от точки B нежели точки A и C , то все три точки окажутся на одном из лучей a + или a , что противоречит условию. Тогда BO  =  BA  +  AO и BO  >  AO . Но по условию – AO  < – BO или AO  >  BO , и мы приходим к противоречию. Следовательно, точка B лежит между A и C .

Рисунок 10.1.2.

    в) Из условия B и C лежат на a +, а точка A на a . Пусть B не лежит между A и C . Тогда A и C лежат по одну сторону от точки B , причем точка O лежит на луче BA . Рис.10.1.3. Тогда OB  =  OC  +  BC и BO  >  OC . Но по условию 0 <  x 2  <  x 3 или OB  <  OC . Полученное противоречие доказывает, что B лежит между A и C .

Рисунок 10.1.3.

    г) Все три точки лежат на луче a +. По условию OA  <  OB  <  OC . Допустим, что B не лежит между A и C . Тогда A и C лежат по одну сторону от точки B . Пусть A и C лежат на отрезке OB . Рис.10.1.4. Тогда OB  =  OC  +  BC или OB  >  OC , и мы получаем противоречие условию. Пусть B лежит на отрезке OA . Тогда OB  +  BA  =  OA или OA  >  OB , что также противоречит условию задачи. Следовательно, точка B лежит между точками A и C . Свойство доказано.

Рисунок 10.1.4.

Числовую прямую с указанием направления возрастания координат точек на ней назовем числовой осью . Множество всех точек числовой оси с положительными координатами называется положительной полуосью .

Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости называется совокупность двух взаимно перпендикулярных числовых осей Ox и Oy с общей начальной точкой O . Числовые оси называются осями координат , а именно: ось Ox осью абсцисс , ось Oy осью ординат . Точка O называется началом координат . Пусть A – произвольная точка плоскости, отличная от начала координат, A x и A y – основания перпендикуляров, опущенных из точки A соответственно на оси абсцисс и ординат (в случае, если A лежит на одной из осей, например, абсцисс, под A x понимается сама точка A , а A y совпадает с точкой O ). Абсциссой точки   A называется координата x точки A x на оси абсцисс, а ординатой точки   A – координата y точки A y на оси ординат. Координатами точки плоскости называются ее абсцисса и ордината, взятые в указанном порядке. Обе координаты точки O , начала координат, очевидно, равны нулю. При необходимости указать, что точка A имеет координаты x и y будем записывать A  ( x y ). Плоскость с введенной декартовой системой координат называется плоскостью Oxy .

Обычно направления осей координат выбирают так, чтобы поворот вокруг точки O на минимальный угол оси абсцисс, при котором положительные полуоси осей абсцисс и ординат совпадают, совершался бы против часовой стрелки. Такая система координат называется правой. Здесь и далее мы считаем, что система координат правая.

Теорема 10.1. 

Каждой точке плоскости Oxy соответствует единственная упорядоченная пара чисел ( x y ) – ее координат, и наоборот, любая упорядоченная пара действительных чисел x и y определяет единственную точку плоскости, если считать x и y соответственно ее абсциссой и ординатой.

Доказательство

Пусть A – произвольная, отличная от начала координат, точка плоскости Oxy . В соответствии с определением координат точки A опустим из этой точки перпендикуляры на оси координат. По теореме 4.10 это можно сделать единственным образом, и, следовательно, единственным образом определяются точки A x и A y . На основании свойства 10.1 единственным образом определены координаты x и y точек A x и A y на осях абсцисс и ординат. Следовательно, каждой точке A плоскости Oxy единственным образом сопоставляется пара ( x y ), где x – абсцисса, y – ордината.

Пусть теперь задана пара чисел x и y , где x трактуется как число, определяющее точку A x на оси абсцисс, координатой которой она является, а y соответственно определяет точку A y   на оси ординат. По свойству 10.1 такие точки существуют и определяются единственным образом. Проведем через точки A x и A y прямые, перпендикулярные соответственно осям абсцисс и ординат. Такие прямые существуют и единственны по теореме 2.1. В результате оси координат и построенные прямые в пересечении образуют прямоугольник поскольку по построению и а по определению системы координат и, следовательно, и и В результате построений мы получили единственную точку A , для которой заданные числа x и y являются ее координатами: x – абсциссой, y – ординатой – в силу построений и определения.

Рисунок 10.1.5.

Фигура F задается данным уравнением в плоскости   Oxy , если точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению.