Вход через социальные сети

Векторы

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 246 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 655 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 533 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 27 537 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 2 593 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 426 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 545 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 556 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 987 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 4 010 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 802 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 800 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 5 428 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 939 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 584 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 582 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 979 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 080 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 352 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 044 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 725 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 754 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 595 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 321 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 851 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 246 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 655 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 533 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 27 537 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 2 593 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 426 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 545 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 556 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 987 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 4 010 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 802 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 800 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 5 428 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 939 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 584 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 582 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 979 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 080 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 352 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 044 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 725 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 754 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 595 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 321 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 851 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:27
adminus
0 up down

Векторы


Глава 11. Векторы

11.1. Основные понятия и свойства

Вектором называется направленный отрезок. Если у отрезка AB его концы равноправны, то для вектора один из концов отрезка, например, A называется началом , а другой, то есть B , – концом . Обозначим вектор либо указанием концов отрезка, причем начало вектора ставится на первое место, либо строчной латинской буквой со стрелкой или чертой над буквами.

Рисунок 11.1.1.
Рисунок 11.1.2.
Рисунок 11.1.3.

На рис. 11.1.1 изображен обычный отрезок AB , а на рис. 11.1.2 – вектор на рис. 11.1.3 – вектор

Векторы и называются одинаково направленными или сонаправленными , если лучи AB и CD одинаково направлены. Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы и называются противоположно направленными . Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Рисунок 11.1.4.

Абсолютной величиной (или модулем ) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора обозначим Два вектора называются равными , если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине. На рис. 11.1.5 вектор а вектор

Рисунок 11.1.5.

Углом между ненулевыми векторами и называется угол BAC . Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами равен нулю.

Нулевым вектором   называется вектор, у которого начало совпадает с концом. Направление нулевого вектора не определено, а его модуль считается равным нулю. Вектор называется единичным , если его абсолютная величина равна единице.

Замечание 11.1

Любую пару векторов, один из которых равен нулевому вектору будем считать коллинеарными.

Теорема 11.1. 

Два вектора, сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены.

Доказательство

Пусть данные векторы и сонаправлены с вектором Докажем, что сонаправлен с

Рисунок 11.1.6.

сонаправлен с Следовательно, прямые AB и MN – параллельны, и существует такая прямая l , перпендикулярная им обеим, что лучи AB и MN лежат в одной полуплоскости от l .

сонаправлен с Следовательно, прямые CD и MN параллельны, и существует прямая такая что лучи CD и MN лежат в одной полуплоскости.

Так как ( AB ) || ( MN ) и ( CD ) || ( MN ), то ( AB ) || ( CD ). и тогда по следствию 4.1 Тогда из двух полуплоскостей, которые образуются при разбиении плоскости прямыми l 1 и l и содержат луч MN , одна содержит другую. Пусть эта полуплоскость ограничена прямой l и содержит луч MN . Тогда она содержит лучи MN , AB и CD . Отсюда следует, что [ AB ) и [ CD ) лежат в одной полуплоскости от прямой l и лежат на параллельных прямых и, следовательно, одинаково направлены. Отсюда векторы и сонаправлены. Теорема доказана.

Свойства равенства векторов:

  • каждый вектор равен самому себе;

  • если вектор равен вектору то равен

  • два вектора, равные третьему, равны.

Теорема 11.2. 

Пусть даны два вектора и не лежащие на одной прямой. Соединим начала A и C и концы B и D этих векторов. Если четырехугольник ABDC – параллелограмм, то и наоборот, если то четырехугольник ABDC – параллелограмм.

Доказательство

Теорема 11.3. 

Если то

Доказательство

Пусть на плоскости Oxy точка  – начало вектора а точка  – его конец.

Координатами вектора   называются числа Для обозначения того, что вектор имеет координаты и используют запись Длина отрезка равна и равна по определению абсолютной величине вектора Радиус-вектором точки M  ( x y ) плоскости Oxy называется вектор с началом в точке O  (0, 0) и концом в точке M  ( x y ).

Теорема 11.4. 

Если два вектора равны, то равны и их соответствующие координаты.

Доказательство

Теорема 11.5. 

Если у двух векторов соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.

Доказательство

Пусть и – два различных вектора, причем и Пусть координаты соответственно точек A , B , C  и D . Тогда
Из этих равенств следует, что  

  1. Если и не лежат на одной прямой, то последние равенства означают, что диагонали параллелограмма ABCD при пересечении делятся пополам. Тогда ABDC – параллелограмм, и отсюда по теореме 11.2

  2. Если и лежат на одной прямой l , рассмотрим прямую и вектор на ней, равный Пусть – координаты соответственно точек M и N . Тогда по теореме 11.4   Так как векторы и не лежат на одной прямой, и их координаты равны, то по доказанному в предыдущем пункте С учетом того, что по выбору, по свойству 3 равенства векторов два вектора и равные третьему вектору равны, т. е. Теорема доказана.