Вход через социальные сети

Движение

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 273 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 709 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 563 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 27 617 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 2 629 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 440 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 561 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 571 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 007 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 4 118 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 820 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 817 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 5 622 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 956 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 604 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 610 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 008 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 101 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 369 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 066 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 753 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 777 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 614 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 336 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 882 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 273 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 709 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 563 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 27 617 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 2 629 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 440 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 561 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 571 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 007 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 4 118 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 820 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 817 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 5 622 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 956 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 604 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 610 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 008 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 101 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 369 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 066 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 753 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 777 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 614 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 336 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 882 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:29
adminus
0 up down

Движение


Глава 12. Преобразования

12.2. Движение

Преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние между точками, называется движением этой фигуры.

Свойства движения .

Теорема 12.1. 

Движение – взаимно однозначное преобразование.

Доказательство

Пусть X и Y – две разные точки, образы которых при преобразовании движения f совпадают, т. е. f  ( X ) =  f  ( Y ). По определению ρ ( f  ( X ),  f  ( Y )) = ρ ( X Y ). С одной стороны, ρ ( X Y ) ≠ 0, так как по условию X Y . С другой стороны, ρ ( f  ( X ),  f  ( Y )) = 0 в силу предположения. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 12.2. 

Преобразование, обратное к движению, – движение.

Доказательство

Пусть f – заданное движение,  – обратное к нему преобразование, а  и  – две точки плоскости, являющиеся образами точек X и Y . По определению обратного преобразования   при этом   и   Следовательно,  – движение. Теорема доказана.

Теорема 12.3. 

Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство

Пусть движение переводит три точки A , B , C , лежащие на одной прямой, в точки  соответственно, и для определенности положим, что точка B лежит между точками A и C . Тогда выполняются равенства
Отсюда   Это означает, что точка   лежит между точками   и   Первая часть утверждения доказана.

Предположим, что найдутся три точки A , B , C , не лежащие на одной прямой, такие, что их образы  при движении f лежат на некоторой прямой. Рассмотрим преобразование   По теореме 12.2  – движение, и в соответствии с доказанным в первой части теоремы образы точек  лежащих на одной прямой, также лежат на одной прямой. Но   а они по предположению не лежат на одной прямой. Полученное противоречие доказывает теорему.

Следствие 12.1. 
  1. Отрезок движением переводится в отрезок.
  2. Луч при движении переходит в луч, прямая – в прямую.
  3. Треугольник движением переводится в треугольник.

Доказательство
  1. Пусть концам отрезка AB движение f сопоставляет точки  и   Возьмем любую точку X отрезка AB . Тогда по теореме 12.3  лежит на прямой  между точками  и  то есть на отрезке  Наоборот, любую точку  отрезка  преобразование  преобразует в точку Y , принадлежащую отрезку AB , так как  – также движение. Теорема доказана.
  2. Пусть A и B – произвольные точки данной прямой,  – прямая, проведенная через образы точек A и B при движении f . Рассмотрим произвольную точку C прямой AB . По теореме 12.3 точки  где  лежат на одной прямой, т.е. прямой  Аналогично в силу того, что  – движение, для точки  прямой  существует точка D прямой AB такая, что  Поскольку при движении взаимное расположение точек сохраняется, то луч переходит в луч при преобразовании движения.
  3. По теореме 12.3 три точки A , B , C , не лежащие на одной прямой, переходят при преобразовании движения в точки  соответственно, не лежащие на одной прямой. Кроме того, отрезки AB , BC и AC переходят в отрезки  Таким образом, треугольник ABC переходит в треугольник   Причем по определению движения   Тогда по третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и  равны.

Теорема 12.4. 

При движении сохраняются углы.

Доказательство

Рассмотрим три точки A , B , C , не лежащие на одной прямой. Они задают лучи AB и AC , являющиеся сторонами угла BAC . Пусть  – соответственно образы рассматриваемых точек A , B , C . Докажем, что   Согласно доказательству предыдущей теоремы треугольник ABC равен треугольнику  а из равенства треугольников следует, что  Теорема доказана.

Две фигуры называются равными , если они движением переводятся одна в другую.

Теорема 12.5. 

Пусть у двух движений f и g фигуры F образы некоторых трех точек A , B , C , не лежащих на одной прямой, совпадают, т.е. f  ( A ) =  g  ( A ) =  A 1, f  ( B ) =  g  ( B ) =  B 1, f  ( C ) =  g  ( C ) =  C 1. Тогда движения f и g совпадают.

Доказательство

Теорема 12.6. 

Пусть на плоскости заданы два равных в смысле определения главы 4 треугольника ABC и Тогда существует такое движение плоскости, которое переводит точку A в A 1, точку B в B 1 и точку C в C 1.

Доказательство

Введем векторы   В силу равенства треугольников ABC и имеем равенства
т.е.
  (*) Пусть P – любая точка. Разложим вектор   по векторам   и   Получим   Зададим преобразование f следующим образом: каждой точке P поставим в соответствие точку так, что если   то   Для этого преобразования т.к. при P  =  A  α = β = 0, что дает   т.к. при P  =  B  α = 1, β = 0, тогда И, наконец, Докажем, что f – движение. Возьмем любые две точки P и Q и соответствующие им точки и Пусть     Тогда     и     Возведя в скалярный квадрат эти равенства, получим
и
Ввиду равенств (*) имеем   или Следовательно, f – движение. Теорема доказана.