Вход через социальные сети

Инверсия

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 246 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 655 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 533 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 27 537 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 2 593 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 426 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 545 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 556 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 987 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 4 010 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 802 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 800 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 5 428 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 939 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 584 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 582 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 979 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 080 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 352 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 044 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 725 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 754 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 595 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 321 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 851 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 246 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 655 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 533 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 27 537 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 2 593 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 426 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 545 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 556 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 987 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 4 010 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 802 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 800 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 5 428 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 939 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 584 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 582 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 979 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 080 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 352 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 044 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 725 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 754 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 595 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 321 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 851 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:30
adminus
0 up down

Инверсия


Глава 12. Преобразования

12.8. Инверсия

Определим преобразование точек плоскости следующим образом. Пусть задана окружность Каждой точке A плоскости, отличной от O , поставим в соответствие точку  на луче OA , такую, что

Теорема 12.23. 

Соответствие между точками плоскости, заданное соотношением (1), является взаимно однозначным преобразованием всех точек плоскости, за исключением точки O – центра окружности

Доказательство

Действительно, пусть A – некоторая точка плоскости, отличная от точки O . Тогда пара точек { O A } определяет единственный луч OA и отрезок OA . Найдем из соотношения (1)  В соответствии с аксиомой 1.5 существует единственная точка  на луче OA , такая, что  В соответствии с определением данное соответствие есть преобразование точек плоскости. В силу симметрии соотношения (1) относительно сомножителей OA и  точно такие же рассуждения можно привести относительно единственности точки A при заданном  Отсюда следует, что соответствие, заданное соотношением (1), – взаимно однозначное преобразование.

Это преобразование называется преобразованием инверсии или просто инверсией относительно окружности    Обозначим ее  Образ точки O при инверсии не определен. Точка O называется центром инверсии , а R радиусом инверсии .

В определении инверсии выражение (1) симметрично относительно сомножителей, что позволяет трактовать точку A как образ точки  при инверсии  Сформулируем на этой основе следующее свойство инверсии.

Теорема 12.24. 

Если точке A при инверсии  соответствует точка  то точке  соответствует точка A , то есть если  то верно

Точки A и A 1 называют взаимно обратными точками.

Доказательство

С учетом определения обратного преобразования это свойство можно записать так: преобразование инверсии  и обратное к нему преобразование  совпадают

Вспоминая, что где e – тождественное преобразование, получим окончательно

Очевидно, что если  то OA  =  R , и из (1) имеем  то есть  и, следовательно,

Теорема 12.25. 

При инверсии относительно  каждая точка окружности  неподвижна.

В остальных случаях из пары связанных инверсий точек одна лежит внутри окружности  другая – вне этой окружности.

Рисунок 12.8.1.

Пусть  – заданная окружность (рис. 12.8.1). Пусть точка A лежит внутри окружности и  где    и  Проведем через точки B  и  C касательные к окружности, которые пересекутся с лучом [ OA ) в точке  Покажем, что

Действительно, из того свойства, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому отрезков гипотенузы, полученных разбиением ее основанием высоты, получаем, что  но  откуда
Приведенные рассуждения дают способ геометрического построения образа точки A при инверсии

Введем далее прямоугольную систему координат OXY с началом в центре окружности  инверсии  (рис. 12.8.2).

Рисунок 12.8.2.

Пусть  – прообраз точки  при инверсии  Из рисунка ясно, что  Отсюда имеем
Так как  то λ > 0, и верно равенство  Умножив обе части этого равенства на OA , имеем  Но, с другой стороны,  и, кроме того,  Отсюда имеем
  Следовательно, инверсия  задается соотношениями
(2) Так как  то
(3)

Рассмотрим фигуру F , задаваемую уравнением
 (4) Рассмотрим образ  этой фигуры при инверсии  Для этого подставим в уравнение (4) соотношения (3), связывающие координаты образа и прообраза при отображении  Получим
то есть
(5) Это и есть уравнение, которое задает образ  фигуры F при инверсии

Рассмотрим различные случаи, перечисленные в условии теоремы.

  1. Пусть A  =  D  = 0, тогда исходное уравнение определяет прямую F : Bx  +  Cy  = 0. При этом уравнение (5) имеет вид  что также задает прямую F (рис. 12.8.3).
  2. F – прямая, не проходящая через точку O . Тогда A  = 0,  D  ≠ 0 и уравнение для F примет вид
      что приводится к виду
      Выделив полные квадраты, имеем
    Это уравнение задает окружность, проходящую через точку O (рис. 12.8.4).
  3. F – окружность, проходящая через точку O . Тогда A  ≠ 0, но  D  = 0, и уравнение (4) имеет вид
    После подстановки (3) имеем
    или
    Это уравнение прямой, не проходящей через начало координат, то есть через точку O , так как A  ≠ 0 (рис. 12.8.5)
  4. F – окружность, не проходящая через точку O . В этом случае A  ≠ 0,  D  ≠ 0. Действительно, тогда уравнение (4) можно записать в виде
    Выделяя полный квадрат, имеем
     Diablo Но при преобразовании инверсии уравнение, задающее  имеет тот же вид, что и исходное уравнение (4), и, следовательно, может быть приведено к виду Diablo (рис. 12.8.6).
Рисунок 12.8.3.
Рисунок 12.8.4.
Рисунок 12.8.5.
Рисунок 12.8.6.

Назовем углом между пересекающимися окружностями с вершиной в точке пересечения меньший угол между касательными к ним прямыми в точке пересечения. Аналогично углом между окружностью и пересекающей ее прямой с вершиной в точке пересечения называется угол между этой прямой и касательной к окружности, проведенной в точке пересечения. Из этого определения следует, что если две окружности или прямая и окружность касаются (то есть имеют единственную общую точку), то угол между ними равен нулю.

Заметим, что образом прямой при инверсии является либо окружность, либо прямая, и наоборот, прообразом прямой в силу теоремы 12.24 также является либо прямая, либо окружность. Отсюда и на основании определений, приведенных выше, следует, что образом угла (так же, как и его прообразом) является угол, сторонами которого в общем случае являются касательные к соответствующим окружностям. Поэтому достаточно рассмотреть доказательство для случая двух прямых  и  не проходящих через центр инверсии. При этом возможны два случая: либо угол между прямыми равен нулю, либо угол отличен от нуля.

Первый случай возникает, во-первых, когда прямые  и  совпадают, и, во-вторых, когда прямая и окружность (или две окружности) касаются. В случае совпадений прямых их образы, очевидно, также совпадают, и, следовательно, значение угла между прямыми сохраняется. Если же имеет место случай касания, то по лемме 12.1 их образы при инверсии также касаются. Действительно, поскольку исходные фигуры касаются, то они имеют единственную общую точку и по лемме 12.1 их образы также имеют единственную общую точку, то есть касаются, и, следовательно, угол между прямыми равен нулю.

Во втором случае прямые  и  пересекаются в некоторой точке A , отличной от центра инверсии. Тогда образами прямых  и  будут окружности  и  которые пересекаются в точке O (см. теорему 12.26) и еще в некоторой точке  Поскольку углы между окружностями в точках O  и  B равны, можно рассмотреть угол в точке O . Касательные прямые  и  в точке O к окружностям  и  параллельны прямым  и  соответственно. Докажем это. Рассмотрим прямую  касающуюся окружности  в точке C . Пусть  – ее прообраз при инверсии относительно окружности  В силу теоремы 12.25  а по теореме 12.26 –  и OC  =  R . Рассмотрим окружность  где  – середина отрезка OC , а  Покажем, что  (рис. 12.8.7).

Рисунок 12.8.7.

Действительно, выберем произвольную точку Пусть Треугольник  – прямоугольный по построению окружности  Угол – прямой, как вписанный в окружность  и опирающийся на диаметр OC . Тогда по свойству высоты, опущенной на гипотенузу, имеем  но  Учтем, что  и получим
но  и окончательно имеем
Таким образом, прообраз любой точки прямой l лежит на  Аналогично можно показать, что любая, кроме точки O , точка A окружности  является прообразом точки  в силу единственности прообраза  Так как OC – диаметр окружности  и l касается  по условию, а  и  также касаются друг друга в точке C , то l касается  в точке C , и тогда касательная  к  в точке O параллельна l .

По условию, прямые l и параллельны, и поэтому у них нет общих точек. Поэтому их образы при инверсии относительно  также не имеют общих точек, кроме точки O . Следовательно,  и  касаются в точке O , и касательные  и  совпадают. Отсюда следует, что  Аналогично  Следовательно, угол между прямыми  и  совпадает с углом между двумя прямыми  и  Теорема доказана.