Вход через социальные сети

Доказательство некоторых формул

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Решительно пожалуйсто

В первом ведре в 4 раза больше воды чем ва втором,а в 3  ведре как во втором и первом вместе,...

11 / - chernyack.tatiana 641 08.12.2017 at 16:45 by grigoriy
Тема форума Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 846 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 1 000 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 2 403 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 1 626 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 31 898 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 4 423 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 1 023 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 1 130 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 1 169 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 882 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 7 107 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 1 393 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 409 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 8 195 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 541 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 2 386 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 2 380 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 913 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 683 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 2 047 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 661 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 2 499 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 2 548 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 2 290 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Решительно пожалуйсто

В первом ведре в 4 раза больше воды чем ва втором,а в 3  ведре как во втором и первом вместе,...

11 / - chernyack.tatiana 641 08.12.2017 at 16:45 by grigoriy
Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 846 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 1 000 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 2 403 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 1 626 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 31 898 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 4 423 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 1 023 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 1 130 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 1 169 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 882 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 7 107 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 1 393 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 409 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 8 195 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 541 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 2 386 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 2 380 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 913 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 683 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 2 047 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 661 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 2 499 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 2 548 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 2 290 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:31
adminus
0 up down

Доказательство некоторых формул


Глава 14. Дополнительные соотношения между элементами в треугольнике

14.3. Доказательство некоторых формул

Доказательство:

Рисунок 14.3.1.

Из основной формулы

С другой стороны

По теореме синусов  откуда

Подставляя выражения для и a в основную формулу, получим искомое выражение.

Доказательство:  По теореме косинусов получим Отсюда


  где Подставляя полученное выражение в формулу получим искомую формулу.

Рисунок 14.3.2.

Доказательство:

По свойству 2 площади простой фигуры имеем


Отсюда имеем искомое выражение.

Доказательство: По формуле 1 по теореме синусов  т. е. Подставляя выражение для в формулу для площади треугольника, получим искомую формулу.

Рисунок 14.3.3.

Доказательство: из теоремы синусов следует, что Для доказательства последнего равенства рассмотрим треугольник ABC , описанную около него окружность Проведем диаметр BD . – прямоугольный, т. к. опирается на диаметр. Кроме того, как опирающиеся на одну и ту же дугу AB . Из треугольника BAD имеем Отсюда получаем искомое равенство

Рисунок 14.3.4.

Доказательство: По формуле 1 этого раздела Из теоремы 11.10  Тогда Подставляя выражение для в формулу площади, получаем

Соотношения в прямоугольном треугольнике

Доказательство следует из формулы для площади треугольника.

Доказательство следует из формулы 1.

Рисунок 14.3.5.

Доказательство: Пусть OE  =  OF  =  OK  =  r ; Отсюда CE  =  CF  =  r . По свойству отрезков касательных AK  =  AE  =  b  –  CE  =  b  –  r BK  =  BF  =  a  –  CF  =  a  –  r . Но AK  +  BK  =  AB  =  c . Имеем c  =  b  –  r  +  a  –  r  =  a  +  b  – 2 r . Откуда получаем

Доказательство является следствием формулы 5, если иметь в виду, что

Рисунок 14.3.6.

Доказательство следует из подобия треугольников ADC и CDB по двум углам так как а Отсюда или

Доказательство следует из подобия треугольников ACB  и  CDB .

Доказательство следует из подобия треугольников ACB  и  ADC .

Доказательство: Первые два равенства следуют из определения синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника, а последние два равенства – из определения тангенса того же угла.

Соотношения в правильном треугольнике
Рисунок 14.3.7.

Доказательство следует из формулы 1, если учесть, что и a  =  b  =  c .

Доказательство следует из формулы 3, если учесть, что  

Доказательство: Следует из формулы 4, если учесть, что

Соотношения в четырехугольниках
Рисунок 14.3.8.

Доказательство: Пусть O – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD . По свойству площадей имеем Но




Складывая левые и правые части, имеем


Параллелограмм
Рисунок 14.3.9.

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 13.3. Второе равенство – следствие теоремы 13.3 и того, что

Третье равенство – следствие формулы 6.

Ромб
Рисунок 14.3.10.

Доказательство: Первое и второе равенства – следствие формулы 5 и того, что ромб – частный случай параллелограмма. Третье равенство – следствие формулы 6 и свойства ромба, задаваемого теоремой 7.8.

Прямоугольник
Рисунок 14.3.11.

Доказательство: Следствие определения прямоугольника  формулы 6 и свойства прямоугольника, задаваемого теоремой 7.7.

Квадрат
Рисунок 14.3.12.

Доказательство: Следствие определения квадрата и формулы 6.

Трапеция

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 7.12. Второе равенство – следствие теоремы 13.5.

Правильный многоугольник
Рисунок 14.3.13.

Доказательство: Пусть – сторона правильного n -угольника, r – радиус вписанной в него окружности. Тогда по свойству площади , где p – полупериметр n -угольника.

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 9.4. Второе равенство – следствие формулы 3.

Окружность. Круг

Первое равенство – следствие теоремы 9.6. Второе равенство – следствие теоремы 13.6.

Доказательство: Первое равенство – следствие определения радианной меры центрального угла. Второе равенство получается, если учесть следствие 9.4.

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 13.1.

Второе равенство получается из первого, если учесть следствие 9.4.

Произвольный треугольник
Рисунок 14.3.14. 29. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

Это является, в частности, прямым следствием теоремы Чевы и обосновано в §14.1. Для доказательства второй части утверждения рассмотрим треугольник ABC . Пусть AD и CE – медианы этого треугольника и O – точка их пересечения. Через точку E проведем прямую, параллельную прямой AD . Пусть F – точка пересечения этой прямой со стороной BC . Очевидно, EF – средняя линия в треугольнике ABD и, следовательно, Тогда из теоремы 4.13 следует, что Так как медиана была выбрана произвольно, то это очевидно для любой медианы, что и завершает доказательство.


Рисунок 14.3.15.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC со сторонами AB  =  c BC  =  a , и  AC  =  b . Пусть – медиана этого треугольника. Обозначим дополнительно Тогда

Применим теорему косинусов к треугольникам ADC  и  ADB . С учетом введенных обозначений имеем



Сложим правые и левые части этих равенств с учетом того, что Тогда получим Отсюда

Рисунок 14.3.16.

Повторяя рассуждения предыдущего пункта, легко получить выражения для длин других медиан треугольника. Выпишем выражения, связывающие длины сторон треугольника и длины медиан этого же треугольника:


Рассматривая эти равенства как систему уравнений относительно a 2 b 2  и  c 2 при известных m a 2 m b 2  и  m c 2, мы можем решить ее относительно, например, Обозначим и запишем систему в виде


Складывая последовательно первое уравнение со вторым и третьим, получим:

  или

Подставим найденные выражения для y  и  z в первое уравнение. После приведения подобных получим

или

Окончательно:


Рисунок 14.3.17. 32.  Отрезки, на которые разбивает биссектриса угла треугольника противолежащую сторону, пропорциональны сторонам этого угла

Пусть отрезок CD – биссектриса треугольника ABC . Обозначим Тогда По теореме синусов в треугольнике BDC имеем

или а в треугольнике ADC :

или

Но отсюда правые части равенств совпадают, следовательно, совпадают и левые: что и требовалось доказать.

Применим теорему косинусов в треугольниках BDC  и  ADC :

Умножим, соответственно, первое равенство на b , а второе на a и вычтем после этого из первого равенства второе. Получим

Преобразуем левую часть этого равенства. Используя результат пункта 32, можно записать цепочку равенств


С другой стороны, правая часть равенства может быть преобразована к виду


Поэтому имеем

Если a  =  b , то треугольник ABC – равнобедренный ( AC  =  BC ), и биссектриса CD совпадает с высотой, тогда искомое выражение для есть следствие теоремы Пифагора.

Если a  ≠  b , то, сокращая эту разность, получим что дает искомое выражение для а именно:

Площадь треугольника BDC равна Аналогично площадь треугольника ADC равна По свойству площадей  где S – площадь треугольника ABC и Имеем равенство
С учетом того, что получим