Вход через социальные сети

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Периодическая функция

Здраствуйте. Вопрос у меня простой, но что-то я застряла на нем. Дана периодическая функция...

5 / - GEPIDIUM 3 143 26.12.2015 at 19:03 by GEPIDIUM
Тема форума Уравнения

Помогите, пожалуйста, с решением.

3 / - nastya-98-00 2 852 17.12.2015 at 07:01 by Таланов
Тема форума показательное неравенство

...

2 / - tata00tata 2 316 09.12.2015 at 15:02 by tata00tata
Тема форума объём остатка идеальной жидкости в горизонтальном сосуде
Добрый день. подскажите, кто-нибудь, формулу определения остатка жидкости в горизонтальном...
20 / - mooonx 20 978 24.11.2015 at 19:32 by grigoriy
Тема форума Как применить метод неопределённых коэффициентов?

Объясните, как можно разложить данный многочлен на множитеи, используя метод неопределённых...

7 / - Dmitrsuvori 3 636 23.11.2015 at 20:45 by grigoriy
Тема форума Потерялась в цифрах, помогите!!!

Помогите, пожалуйста, разобраться!

Какая должна быть длина одной стороны шестиугольника...

6 / - il.mila 3 230 23.11.2015 at 00:07 by folk
Тема форума сложные замены переменной

Здравствуйте. Подскажите принцип, как сделать замену переменной.

...

30 / - tata00tata 10 795 04.11.2015 at 13:24 by Albe
Тема форума Помогите пожалуйста с задачей... Скалярное произведение

В основании правильной пирамиды DABC лежит треугольник ABC со стороной, равной а. Точка К-...

5 / - vladislava-avramenko 4 396 31.10.2015 at 14:15 by tata00tata
Тема форума Добрый вечер.Помогите разобраться с многочленами.Какой многочлен надо вычесть из двучлена 4а в 3 степени,чтобы разность была равна -4?

Добрый вечер.Помогите разобраться с  многочленами.

Какой многочлен надо вычесть из...

7 / - Liliya22497 4 141 28.10.2015 at 17:09 by Swetlana
Тема форума Докажите, что корень из 3 является иррациональным числом.

Докажите, что корень из 3 является иррациональным числом.

1 / - nemoyemail 2 807 29.09.2015 at 17:28 by zam2
Тема форума Транспортная задача методом теорией графов
Прочитал в википедии что транспортную задачу можно решить методом теорией графов, как я понял это...
3 / - vilix 10 913 26.09.2015 at 13:36 by Swetlana
Тема форума Новый день — новая задача

Иногда утром очень сложно проснуться. Не помогает ни кофе, ни холодный душ. Оказалось, что...

7 / - trushinbv 5 444 23.09.2015 at 19:36 by ARRY
Тема форума школьная теория вероятности.

Здравствуйте, необходимо решить задачу исходя из классического определения вероятности.

...

3 / - tata00tata 3 294 18.09.2015 at 22:19 by tata00tata
Тема форума последовательности

Здравствуйте. Вопрос сразу про 2 последовательности. Найти наибольший член последовательности...

7 / - tata00tata 5 300 18.08.2015 at 20:39 by Andrew58
Тема форума Помогите найти односторонние пределы функции.

Помогите найти односторонние пределы функции:

...

10 / - AAA1111 6 152 29.07.2015 at 14:14 by zam2
Тема форума Математическая игра в честь для числа пи

В честь дня числа пи можно поиграть в такую игру. Берём несколько первых цифр числа ...

1 / - General 2 572 23.07.2015 at 12:09 by General
Тема форума Вопрос по нахождению координат в Декартовой системе.

Добрый день!

Я извиняюсь за такой элементарный вопрос, но что-то я подзабыл школьный...

1 / - helloff 2 044 22.07.2015 at 10:58 by ARRY
Тема форума Вопросы по нахождению площади круга через интеграл.

При вычислении пользуются заменой:

...

12 / - AAA1111 7 269 17.07.2015 at 15:39 by AAA1111
Тема форума Помогите решить (тригонометрия)

5cos(2x+pi/3)=4sin(5pi/6-x) - 1

Получается красивая конструкция после упрощения, но что...

6 / - looterrf 4 479 07.07.2015 at 23:59 by looterrf
Тема форума Не могу справиться с уравнением

Помогите, пожалуйста, с уравнением

...

10 / - wova 7 816 22.06.2015 at 13:35 by wova
Тема форума Помогите решить задачки по теории вероятности

1)На окружности радиуса 6 см выбраны случайным образом две точки. Найдите вероятность того, что...

1 / - rylly-96 2 537 09.06.2015 at 11:31 by Таланов
Тема форума Помогите решить систему уравнений

Добрый вечер, всем присутствующим!

Помогите, пожалуйста решить школьнйю системку...

6 / - bmp49 4 608 03.06.2015 at 18:47 by bmp49
Тема форума Уррациональное уравнение третье степени

Друзья, очень нужен Ваш совет в каком направлении двигаться... похоже я переработалась, что не...

4 / - Evaf 4 114 28.05.2015 at 20:09 by Evaf
Тема форума Уравнение с параметром.

Здравствуйте. было уравнение с параметром. Авторское решение понятно. Я хочу привести свое....

23 / - tata00tata 9 814 20.05.2015 at 12:56 by 12d3
Тема форума Алгебра

Доброго времени суток!
Помогите, пожалуйста, вычислить (0,9996)^300

7 / - 597400 5 675 16.05.2015 at 20:16 by miflin
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Периодическая функция

Здраствуйте. Вопрос у меня простой, но что-то я застряла на нем. Дана периодическая функция...

5 / - GEPIDIUM 3 143 26.12.2015 at 19:03 by GEPIDIUM
Уравнения

Помогите, пожалуйста, с решением.

3 / - nastya-98-00 2 852 17.12.2015 at 07:01 by Таланов
показательное неравенство

...

2 / - tata00tata 2 316 09.12.2015 at 15:02 by tata00tata
объём остатка идеальной жидкости в горизонтальном сосуде
Добрый день. подскажите, кто-нибудь, формулу определения остатка жидкости в горизонтальном...
20 / - mooonx 20 978 24.11.2015 at 19:32 by grigoriy
Как применить метод неопределённых коэффициентов?

Объясните, как можно разложить данный многочлен на множитеи, используя метод неопределённых...

7 / - Dmitrsuvori 3 636 23.11.2015 at 20:45 by grigoriy
Потерялась в цифрах, помогите!!!

Помогите, пожалуйста, разобраться!

Какая должна быть длина одной стороны шестиугольника...

6 / - il.mila 3 230 23.11.2015 at 00:07 by folk
сложные замены переменной

Здравствуйте. Подскажите принцип, как сделать замену переменной.

...

30 / - tata00tata 10 795 04.11.2015 at 13:24 by Albe
Помогите пожалуйста с задачей... Скалярное произведение

В основании правильной пирамиды DABC лежит треугольник ABC со стороной, равной а. Точка К-...

5 / - vladislava-avramenko 4 396 31.10.2015 at 14:15 by tata00tata
Добрый вечер.Помогите разобраться с многочленами.Какой многочлен надо вычесть из двучлена 4а в 3 степени,чтобы разность была равна -4?

Добрый вечер.Помогите разобраться с  многочленами.

Какой многочлен надо вычесть из...

7 / - Liliya22497 4 141 28.10.2015 at 17:09 by Swetlana
Докажите, что корень из 3 является иррациональным числом.

Докажите, что корень из 3 является иррациональным числом.

1 / - nemoyemail 2 807 29.09.2015 at 17:28 by zam2
Транспортная задача методом теорией графов
Прочитал в википедии что транспортную задачу можно решить методом теорией графов, как я понял это...
3 / - vilix 10 913 26.09.2015 at 13:36 by Swetlana
Новый день — новая задача

Иногда утром очень сложно проснуться. Не помогает ни кофе, ни холодный душ. Оказалось, что...

7 / - trushinbv 5 444 23.09.2015 at 19:36 by ARRY
школьная теория вероятности.

Здравствуйте, необходимо решить задачу исходя из классического определения вероятности.

...

3 / - tata00tata 3 294 18.09.2015 at 22:19 by tata00tata
последовательности

Здравствуйте. Вопрос сразу про 2 последовательности. Найти наибольший член последовательности...

7 / - tata00tata 5 300 18.08.2015 at 20:39 by Andrew58
Помогите найти односторонние пределы функции.

Помогите найти односторонние пределы функции:

...

10 / - AAA1111 6 152 29.07.2015 at 14:14 by zam2
Математическая игра в честь для числа пи

В честь дня числа пи можно поиграть в такую игру. Берём несколько первых цифр числа ...

1 / - General 2 572 23.07.2015 at 12:09 by General
Вопрос по нахождению координат в Декартовой системе.

Добрый день!

Я извиняюсь за такой элементарный вопрос, но что-то я подзабыл школьный...

1 / - helloff 2 044 22.07.2015 at 10:58 by ARRY
Вопросы по нахождению площади круга через интеграл.

При вычислении пользуются заменой:

...

12 / - AAA1111 7 269 17.07.2015 at 15:39 by AAA1111
Помогите решить (тригонометрия)

5cos(2x+pi/3)=4sin(5pi/6-x) - 1

Получается красивая конструкция после упрощения, но что...

6 / - looterrf 4 479 07.07.2015 at 23:59 by looterrf
Не могу справиться с уравнением

Помогите, пожалуйста, с уравнением

...

10 / - wova 7 816 22.06.2015 at 13:35 by wova
Помогите решить задачки по теории вероятности

1)На окружности радиуса 6 см выбраны случайным образом две точки. Найдите вероятность того, что...

1 / - rylly-96 2 537 09.06.2015 at 11:31 by Таланов
Помогите решить систему уравнений

Добрый вечер, всем присутствующим!

Помогите, пожалуйста решить школьнйю системку...

6 / - bmp49 4 608 03.06.2015 at 18:47 by bmp49
Уррациональное уравнение третье степени

Друзья, очень нужен Ваш совет в каком направлении двигаться... похоже я переработалась, что не...

4 / - Evaf 4 114 28.05.2015 at 20:09 by Evaf
Уравнение с параметром.

Здравствуйте. было уравнение с параметром. Авторское решение понятно. Я хочу привести свое....

23 / - tata00tata 9 814 20.05.2015 at 12:56 by 12d3
Алгебра

Доброго времени суток!
Помогите, пожалуйста, вычислить (0,9996)^300

7 / - 597400 5 675 16.05.2015 at 20:16 by miflin
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:32
adminus
0 up down

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

6.1. Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

                                                                               ê x n - a ê < e .                                                                              (6.1)

Записывают это следующим образом:  или x n ® a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

                                                                           a- e < x n < a + e ,                                                                             (6.2)

которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- e , a+ e ), т.е. попадают в какую угодно малую e -окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x ® a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x n )} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “ на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x ® a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e , можно найти такое d >0 (зависящее от e ), что для всех x, лежащих в d -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 <
½ x-a ½ < d , значения функции f(x) будут лежать в e -окрестности числа А, т.е. ê f(x)-A ê < e .

Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке e - d “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x ® a имеет предел, равный А, это записывается в виде

                                                                                .                                                                 (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x n )} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существуют пределы  

                                                (6.4)

                                                          (6.5)

                                                    (6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ¥ / ¥ , 0 × ¥ , ¥ - ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.                                                                                    (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

                                                                                                                        (6.8)

                                                                                                                     (6.9)

Теорема 3.     

                                                                                                                                                                                    (6.10)

                                                                                                                                                                         (6.11)

где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

                                                                                                                                                                  (6.12)

                                                                                                                                                                      (6.13)

                                                                                                                                                                    (6.14)

в частности,

                                                                                                 

Eсли x ® a и при этом x > a, то пишут x ® a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x ® a и при этом x ® a-0. Числа  и  называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x ® a необходимо и достаточно, чтобы .  Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0, если

                                                                                               .                                                                         (6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

,

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o )= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o, если

,

и непрерывной слева в точке x o, если

.

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o ). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если  существует и не равен f(x o ), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок.

2. Если  равен ¥ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция y = ctg x при x ® +0 имеет предел, равный + ¥ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 » 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

                                        100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),

                                        100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),

                                        100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы e >0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство ½ x n -1 ½ < e .

Возьмем любое e >0. Так как ½ x n -1 ½ = ½ (n+1)/n - 1 ½ = 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n< e . Отсюда n>1/ e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ e , N = E(1/ e ). Мы тем самым доказали, что .

Пример 3 . 2. Найти предел последовательности, заданной общим членом  .

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ® ¥ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем x n, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2, а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

.

Пример 3.3 . . Найти .

Решение.  .

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3 . 4. Найти  ( ).

Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ¥ - ¥ . Преобразуем формулу общего члена:

.

Пример 3 . 5. Дана функция f(x)=2 1/x. Доказать, что  не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е.  Покажем, что величина f(x n )= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда  Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю.  Поэтому  не существует.

Пример 3 . 6. Доказать, что  не существует.

Решение. Пусть x 1, x 2,..., x n,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n )} = {sin x n } при различных x n
® ¥ ?

Если x n = p n, то sin x n = sin p n = 0 при всех n и  Если же
x n =2
p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно . Таким образом,   не существует.

Пример 3 . 7. Найти  .

Решение. Имеем:  . Обозначим t = 5x. При x ® 0 имеем: t ® 0. Применяя формулу (3.10), получим  .

Пример 3 . 8. Вычислить .

Решение. Обозначим y= p -x. Тогда при x ® p , y ® 0.Имеем:

sin 3x = sin 3( p -y) = sin (3 p -3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4( p -y) = sin (4 p -4y)= - sin 4y.

.

Пример 3 . 9. Найти .

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x ® 0 t ® 0. .

Пример 3 . 10. Найти 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя:                               .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем:    .

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство:

Так как , то, по теореме о пределе частного, найдем

3. Числитель и знаменатель при x ® ¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x 2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

.

Пример 3 . 11. Найти .

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю: , x-9 ® 0, т.е. имеем неопределенность вида .

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения , получим

.

Пример 3 . 12. Найти .

Решение.  .